人邮高数 第6章 第6-3-21题
📝 题目
21．求下列方程组确定的函数的导数或偏导数．
（1）$\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=20,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} 、 \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}$ 。
（2）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=\frac{1}{2} z^{2}, \\ x+y+z=2,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} z} 、 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} z}$ ．
（3）$\left\{\begin{array}{l}u^{3}+x v-y=0, \\ v^{3}+y u-x=0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial v}{\partial x}$ 。
（4）$\left\{\begin{array}{l}x+y=u+v \\ x \sin v=y \sin u,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} 、 \frac{\partial v}{\partial y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
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（1）
方程组：
$$
\begin{cases}
z = x^2 + y^2, \\
x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 20.
\end{cases}
$$
对第一个方程两边对 $x$ 求导：
$$
\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \frac{dy}{dx}.
$$
对第二个方程两边对 $x$ 求导：
$$
2x + 4y \frac{dy}{dx} + 6z \frac{dz}{dx} = 0.
$$
将第一式代入第二式：
$$
2x + 4y \frac{dy}{dx} + 6z \left(2x + 2y \frac{dy}{dx}\right) = 0.
$$
整理：
$$
2x + 4y \frac{dy}{dx} + 12xz + 12yz \frac{dy}{dx} = 0,
$$
$$
(4y + 12yz) \frac{dy}{dx} + (2x + 12xz) = 0,
$$
$$
4y(1 + 3z) \frac{dy}{dx} = -2x(1 + 6z).
$$
因此：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{x(1 + 6z)}{2y(1 + 3z)}.
$$
再由第一式：
$$
\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \cdot \left(-\frac{x(1 + 6z)}{2y(1 + 3z)}\right)
= 2x - \frac{x(1 + 6z)}{1 + 3z}
= \frac{2x(1 + 3z) - x(1 + 6z)}{1 + 3z}
= \frac{2x + 6xz - x - 6xz}{1 + 3z}
= \frac{x}{1 + 3z}.
$$
答案：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{x(1 + 6z)}{2y(1 + 3z)},\quad \frac{dz}{dx} = \frac{x}{1 + 3z}.
$$
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（2）
方程组：
$$
\begin{cases}
x^2 + y^2 = \frac{1}{2}z^2, \\
x + y + z = 2.
\end{cases}
$$
对 $z$ 求导：
$$
2x \frac{dx}{dz} + 2y \frac{dy}{dz} = z,
$$
$$
\frac{dx}{dz} + \frac{dy}{dz} + 1 = 0.
$$
设 $p = \frac{dx}{dz},\ q = \frac{dy}{dz}$，则：
$$
2x p + 2y q = z,\quad p + q = -1.
$$
由第二式 $q = -1 - p$，代入第一式：
$$
2x p + 2y(-1 - p) = z,
$$
$$
2x p - 2y - 2y p = z,
$$
$$
2p(x - y) = z + 2y,
$$
$$
p = \frac{z + 2y}{2(x - y)}.
$$
于是：
$$
q = -1 - \frac{z + 2y}{2(x - y)} = \frac{-2(x - y) - (z + 2y)}{2(x - y)} = \frac{-2x + 2y - z - 2y}{2(x - y)} = \frac{-2x - z}{2(x - y)}.
$$
答案：
$$
\frac{dx}{dz} = \frac{z + 2y}{2(x - y)},\quad \frac{dy}{dz} = -\frac{2x + z}{2(x - y)}.
$$
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（3）
方程组：
$$
\begin{cases}
u^3 + xv - y = 0, \\
v^3 + yu - x = 0.
\end{cases}
$$
对 $x$ 求偏导，视 $u,v$ 为 $x,y$ 的函数，固定 $y$：
$$
3u^2 \frac{\partial u}{\partial x} + v + x \frac{\partial v}{\partial x} = 0,
$$
$$
3v^2 \frac{\partial v}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial x} - 1 = 0.
$$
写成线性方程组：
$$
\begin{cases}
3u^2 \frac{\partial u}{\partial x} + x \frac{\partial v}{\partial x} = -v, \\
y \frac{\partial u}{\partial x} + 3v^2 \frac{\partial v}{\partial x} = 1.
\end{cases}
$$
系数行列式：
$$
\Delta = \begin{vmatrix} 3u^2 & x \\ y & 3v^2 \end{vmatrix} = 9u^2 v^2 - xy.
$$
由克莱姆法则：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\begin{vmatrix} -v & x \\ 1 & 3v^2 \end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{-3v^3 - x}{9u^2 v^2 - xy},
$$
$$
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\begin{vmatrix} 3u^2 & -v \\ y & 1 \end{vmatrix}}{\Delta} = \frac{3u^2 + yv}{9u^2 v^2 - xy}.
$$
答案：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{3v^3 + x}{9u^2 v^2 - xy},\quad \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{3u^2 + yv}{9u^2 v^2 - xy}.
$$
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（4）
方程组：
$$
\begin{cases}
x + y = u + v, \\
x \sin v = y \sin u.
\end{cases}
$$
对 $y$ 求偏导，固定 $x$：
$$
1 = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y},
$$
$$
x \cos v \frac{\partial v}{\partial y} = \sin u + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y}.
$$
设 $p = \frac{\partial u}{\partial y},\ q = \frac{\partial v}{\partial y}$，则：
$$
p + q = 1,
$$
$$
x \cos v \cdot q = \sin u + y \cos u \cdot p.
$$
由第一式 $q = 1 - p$，代入第二式：
$$
x \cos v (1 - p) = \sin u + y \cos u \cdot p,
$$
$$
x \cos v - x \cos v \cdot p = \sin u + y \cos u \cdot p,
$$
$$
x \cos v - \sin u = p (x \cos v + y \cos u),
$$
$$
p = \frac{x \cos v - \sin u}{x \cos v + y \cos u}.
$$
于是：
$$
q = 1 - \frac{x \cos v - \sin u}{x \cos v + y \cos u} = \frac{x \cos v + y \cos u - x \cos v + \sin u}{x \cos v + y \cos u} = \frac{y \cos u + \sin u}{x \cos v + y \cos u}.
$$
答案：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x \cos v - \sin u}{x \cos v + y \cos u},\quad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{y \cos u + \sin u}{x \cos v + y \cos u}.
$$
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难度评级：★★★☆☆
（涉及隐函数方程组求导，需熟练运用链式法则与克莱姆法则，计算量中等。）