人邮高数 第6章 第6-3-22题
📝 题目
22．设函数 $u=x^{2}+y z$ ，而 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z=f(x, y+z)$ 确定的可微函数，其中 $f$ 具有连续的偏导数且 $f_{2}^{\prime} \neq 1$ ，求偏导数 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知函数
$$
u = x^{2} + y z,
$$
其中 $ z = z(x, y) $ 是由方程
$$
z = f(x, y+z)
$$
所确定的隐函数，且 $ f $ 具有连续偏导数，$ f'_2 \neq 1 $。
我们要求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial u}{\partial y}$。
---
**第一步：对 $ u $ 直接求偏导**
由
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + y \frac{\partial z}{\partial x},
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = z + y \frac{\partial z}{\partial y}.
$$
因此关键在于求出 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
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第二步：对隐函数方程求偏导
设
$$
F(x, y, z) = z - f(x, y+z) = 0.
$$
对 $ x $ 求偏导，注意 $ z $ 是 $ x, y $ 的函数：
$$
\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0.
$$
其中
$$
\frac{\partial F}{\partial x} = - f'_1,
$$
$$
\frac{\partial F}{\partial z} = 1 - f'_2,
$$
这里 $ f'_1 = \frac{\partial f}{\partial x} $，$ f'_2 = \frac{\partial f}{\partial (y+z)} $（即对第二个变量求偏导）。
于是
$$
- f'_1 + (1 - f'_2) \frac{\partial z}{\partial x} = 0
$$
$$
\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{f'_1}{1 - f'_2}.
$$
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**第三步：对 $ y $ 求偏导**
类似地，对 $ y $ 求偏导：
$$
\frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0.
$$
其中
$$
\frac{\partial F}{\partial y} = - f'_2 \cdot \frac{\partial (y+z)}{\partial y} = - f'_2 \left(1 + \frac{\partial z}{\partial y}\right).
$$
代入得
$$
- f'_2 \left(1 + \frac{\partial z}{\partial y}\right) + (1 - f'_2) \frac{\partial z}{\partial y} = 0.
$$
展开：
$$
- f'_2 - f'_2 \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial y} - f'_2 \frac{\partial z}{\partial y} = 0,
$$
$$
- f'_2 + \frac{\partial z}{\partial y} (1 - 2 f'_2) = 0.
$$
因此
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{f'_2}{1 - 2 f'_2}.
$$
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**第四步：代入 $ u $ 的偏导表达式**
于是
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + y \cdot \frac{f'_1}{1 - f'_2},
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = z + y \cdot \frac{f'_2}{1 - 2 f'_2}.
$$
其中 $ z $ 由原方程确定，$ f'_1, f'_2 $ 均在点 $(x, y+z)$ 处取值。
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最终答案：
$$
\boxed{\frac{\partial u}{\partial x} = 2x + \frac{y f'_1}{1 - f'_2}}
$$
$$
\boxed{\frac{\partial u}{\partial y} = z + \frac{y f'_2}{1 - 2 f'_2}}
$$
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难度：★★★☆☆
（涉及隐函数求导与链式法则，需注意复合变量关系，但计算过程较常规）