人邮高数 第1章 第1-6-1题
📝 题目
1．判断下列各题中，哪些是无穷小？哪些是无穷大？
（1） $3 x^{2}-2 x-1(x \rightarrow 1)$ ；
（2）$\displaystyle \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}(x \rightarrow+\infty)$ ；
（3） $\ln x(x \rightarrow+\infty)$ ；
（4） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\left(x \rightarrow 0^{-}\right)$；
（5）$\displaystyle x^{2}\left(3-\sin \frac{1}{x}\right)(x \rightarrow 0)$ ；
（6） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下是对习题1-6的详细解答，判断各函数在指定极限过程中的无穷小或无穷大性质。
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（1） $3 x^{2}-2 x-1 \quad (x \rightarrow 1)$
先计算极限：
$$
\displaystyle{\lim_{x \to 1} (3x^2 - 2x - 1) = 3(1)^2 - 2(1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0}
$$
极限为0，因此该函数是 无穷小。
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（2） $\displaystyle \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}} \quad (x \rightarrow +\infty)$
比较分子分母的最高次项：
分子是 $x^2$，分母 $\sqrt{x^3+1} \sim x^{3/2}$，因此
$$
\frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}} \sim \frac{x^2}{x^{3/2}} = x^{1/2} \to +\infty
$$
所以是 无穷大。
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（3） $\ln x \quad (x \rightarrow +\infty)$
当 $x \to +\infty$ 时，$\ln x \to +\infty$，因此是 无穷大。
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（4） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \quad (x \rightarrow 0^{-})$
当 $x \to 0^{-}$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x} \to -\infty$，因此
$$
\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \to 0
$$
所以是 无穷小。
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（5） $\displaystyle x^{2}\left(3-\sin \frac{1}{x}\right) \quad (x \rightarrow 0)$
由于 $\displaystyle \sin\frac{1}{x}$ 有界：$\displaystyle |\sin\frac{1}{x}| \le 1$，因此
$$
2 \le 3 - \sin\frac{1}{x} \le 4
$$
于是
$$
2x^2 \le x^2\left(3-\sin\frac{1}{x}\right) \le 4x^2
$$
当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，由夹逼定理得极限为0，因此是 无穷小。
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（6） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \quad (x \rightarrow 0^{+})$
当 $x \to 0^{+}$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x} \to +\infty$，因此
$$
\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \to +\infty
$$
所以是 无穷大。
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最终答案汇总：
（1）无穷小；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷小；（5）无穷小；（6）无穷大。