人邮高数 第6章 第6-3-29题

[AI解答]

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已知 $ u = f(z) $，且 $ z = y + x \varphi(z) $，其中 $ f, \varphi $ 可导，且 $ 1 - x \varphi'(z) \neq 0 $。

首先，由隐函数关系 $ z = y + x \varphi(z) $ 可知 $ z $ 是 $ x, y $ 的隐函数。对等式两边分别关于 $ x $ 和 $ y $ 求偏导。

**1. 求 $ \frac{\partial z}{\partial x} $**

对 $ z = y + x \varphi(z) $ 两边关于 $ x $ 求偏导（注意 $ z $ 是 $ x, y $ 的函数）：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \varphi(z) + x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial x}
$$
移项：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} - x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial x} = \varphi(z)
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial x} \bigl(1 - x \varphi'(z)\bigr) = \varphi(z)
$$
由条件 $ 1 - x \varphi'(z) \neq 0 $，得：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\varphi(z)}{1 - x \varphi'(z)}
$$

**2. 求 $ \frac{\partial z}{\partial y} $**

对 $ z = y + x \varphi(z) $ 两边关于 $ y $ 求偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = 1 + x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial y}
$$
移项：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} - x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial y} = 1
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} \bigl(1 - x \varphi'(z)\bigr) = 1
$$
因此：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 - x \varphi'(z)}
$$

**3. 求 $ \frac{\partial u}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial u}{\partial y} $**

由链式法则，$ u = f(z) $，故：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = f'(z) \cdot \frac{\partial z}{\partial x}
= f'(z) \cdot \frac{\varphi(z)}{1 - x \varphi'(z)}
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = f'(z) \cdot \frac{\partial z}{\partial y}
= f'(z) \cdot \frac{1}{1 - x \varphi'(z)}
$$

因此，最终结果为：
$$
\boxed{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{f'(z) \varphi(z)}{1 - x \varphi'(z)}},\quad
\boxed{\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{f'(z)}{1 - x \varphi'(z)}}
$$

难度：★★☆☆☆