人邮高数 第1章 第1-6-2题
📝 题目
2．当 $x \rightarrow 0\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$时，下列哪些是 $x$ 的高阶无穷小？哪些是 $x$ 的同阶或等价无穷小？哪些是 $x$ 的低阶无穷小？并指出无穷小的阶数。
（1） $\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1$ ；
（2）$x+2 x^{2}$ ；
（3） $1-\cos x^{2}$ ；
（4）$x^{4}+\sin 2 x$ ；
（5）$\sqrt{x(1-x)}$ ；
（6）$\displaystyle \frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi}{2}(1-x)$ ；
（7） $\displaystyle \ln \left(1+x^{\frac{3}{2}}\right)$ ；
（8） $\sin \left(\tan ^{2} x\right)$ ；
（9） $\csc x-\cot x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下是对习题1-6中第2题的详细解答。我们逐一分析每个无穷小量当 $x \to 0$（或 $x \to 0^+$）时与 $x$ 的比较。
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(1) $\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1$
当 $x \to 0^+$ 时，$\sqrt{x} \to 0$，利用等价无穷小 $\mathrm{e}^u - 1 \sim u$，得
$$
\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1 \sim \sqrt{x}
$$
因此它是 $x$ 的低阶无穷小（因为 $\sqrt{x}$ 比 $x$ 趋于0更慢），阶数为 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$。
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(2) $x+2x^{2}$
当 $x \to 0$ 时，$x$ 是主要项，$2x^2$ 是高阶小量，因此
$$
x+2x^2 \sim x
$$
所以是 $x$ 的等价无穷小，阶数为1。
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(3) $1-\cos x^{2}$
利用 $\displaystyle 1-\cos u \sim \frac{u^2}{2}$，令 $u = x^2$，得
$$
1-\cos x^{2} \sim \frac{(x^2)^2}{2} = \frac{x^4}{2}
$$
因此是 $x$ 的高阶无穷小，阶数为4。
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(4) $x^{4}+\sin 2x$
当 $x \to 0$ 时，$\sin 2x \sim 2x$，而 $x^4$ 是高阶小量，所以
$$
x^{4}+\sin 2x \sim 2x
$$
因此是 $x$ 的同阶无穷小（等价于 $2x$），阶数为1。
---
(5) $\sqrt{x(1-x)}$
当 $x \to 0^+$ 时，$1-x \to 1$，所以
$$
\sqrt{x(1-x)} \sim \sqrt{x}
$$
因此是 $x$ 的低阶无穷小，阶数为 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$。
---
(6) $\displaystyle \frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi}{2}(1-x)$
先化简：
$$
\cos \frac{\pi}{2}(1-x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)
$$
当 $x \to 0$ 时，$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \sim \frac{\pi}{2}x$，因此
$$
\frac{2}{\pi} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \sim \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}x = x
$$
所以是 $x$ 的等价无穷小，阶数为1。
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(7) $\displaystyle \ln\left(1+x^{\frac{3}{2}}\right)$
当 $x \to 0^+$ 时，$x^{3/2} \to 0$，利用 $\ln(1+u) \sim u$，得
$$
\ln\left(1+x^{\frac{3}{2}}\right) \sim x^{\frac{3}{2}}
$$
因此是 $x$ 的低阶无穷小，阶数为 $\displaystyle{\frac{3}{2}}$。
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(8) $\sin\left(\tan^{2} x\right)$
当 $x \to 0$ 时，$\tan x \sim x$，所以 $\tan^2 x \sim x^2$，又 $\sin u \sim u$，因此
$$
\sin\left(\tan^{2} x\right) \sim x^2
$$
所以是 $x$ 的高阶无穷小，阶数为2。
---
(9) $\csc x - \cot x$
化简：
$$
\csc x - \cot x = \frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}
$$
当 $x \to 0$ 时，$\displaystyle 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\sin x \sim x$，因此
$$
\frac{1 - \cos x}{\sin x} \sim \frac{x^2/2}{x} = \frac{x}{2}
$$
所以是 $x$ 的同阶无穷小（等价于 $\displaystyle \frac{x}{2}$），阶数为1。
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总结答案：
| 题号 | 与 $x$ 的关系 | 阶数 |
|------|----------------|------|
| (1) | 低阶无穷小 | $1/2$ |
| (2) | 等价无穷小 | 1 |
| (3) | 高阶无穷小 | 4 |
| (4) | 同阶无穷小 | 1 |
| (5) | 低阶无穷小 | $1/2$ |
| (6) | 等价无穷小 | 1 |
| (7) | 低阶无穷小 | $3/2$ |
| (8) | 高阶无穷小 | 2 |
| (9) | 同阶无穷小 | 1 |