人邮高数 第6章 第6-3-33题
📝 题目
33．求函数 $z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在点 $(1,1)$ 处沿方向余弦 $\displaystyle \cos \alpha=\frac{1}{2}, \cos \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的方向的方向导数．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，函数为
$$
z = \ln(x^2 + y^2)
$$
在点 $(1,1)$ 处，先计算梯度。
偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}, \quad
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}
$$
代入点 $(1,1)$：
$$
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} = \frac{2}{1+1} = 1, \quad
\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1)} = \frac{2}{1+1} = 1
$$
所以梯度为：
$$
\nabla z(1,1) = (1, 1)
$$
方向余弦给出方向向量：
$$
\mathbf{l} = (\cos\alpha, \cos\beta) = \left( \frac12, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)
$$
方向导数公式：
$$
\frac{\partial z}{\partial l}\bigg|_{(1,1)} = \nabla z(1,1) \cdot \mathbf{l}
= 1 \cdot \frac12 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
= \frac{1 + \sqrt{3}}{2}
$$
因此，所求方向导数为：
$$
\boxed{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}}
$$
难度：★☆☆☆☆