人邮高数 第6章 第6-4-1题
📝 题目
1．填空题．
（1）曲线 $x=\cos t, y=\sin t, z=\sin t+\cos t$ 在对应的点 $t=0$ 处的切线与平面 $x+B y-z=0$ 平行，则 $B=$ $\_\_\_\_$ ；
（2）曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $(1,1,2)$ 处的法线与平面 $A x+B y+z+1=0$ 垂直，则 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$B=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
(1)
曲线参数方程为
$$
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=\sin t+\cos t
$$
在 $t=0$ 处，对应点为
$$
(x(0),y(0),z(0))=(1,0,1)
$$
切向量为
$$
\vec{T}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}\right)=(-\sin t,\ \cos t,\ \cos t-\sin t)
$$
代入 $t=0$ 得
$$
\vec{T}(0)=(0,1,1)
$$
平面方程为 $x+By-z=0$，其法向量为
$$
\vec{n}=(1,B,-1)
$$
切线与平面平行，即切向量与法向量垂直，故点积为零：
$$
(0,1,1)\cdot(1,B,-1)=0+B-1=0
$$
解得
$$
B=1
$$
(2)
曲面 $z=x^2+y^2$ 可写为
$$
F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0
$$
梯度为法向量：
$$
\nabla F=(2x,2y,-1)
$$
在点 $(1,1,2)$ 处，法向量为
$$
\vec{n}_s=(2,2,-1)
$$
已知平面方程为 $Ax+By+z+1=0$，其法向量为
$$
\vec{n}_p=(A,B,1)
$$
法线与平面垂直，即曲面法向量与平面法向量平行，故存在常数 $k$ 使得
$$
(2,2,-1)=k(A,B,1)
$$
由第三分量得 $-1=k\cdot 1$，即 $k=-1$。
于是
$$
2 = -A \quad\Rightarrow\quad A=-2
$$
$$
2 = -B \quad\Rightarrow\quad B=-2
$$
答案：
(1) $B=1$
(2) $A=-2,\ B=-2$
难度：★★☆☆☆