人邮高数 第1章 第1-6-4题

[AI解答]

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以下为各极限的详细解答，使用LaTeX格式书写。

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（1）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{3}-2 x+1}$

分子分母同除以 $x^3$：
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}} = \frac{0+0}{1-0+0}=0
$$
答案： $0$

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（2）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow-2} \frac{x-2}{\sqrt{x+2}}$

当 $x\to -2^+$ 时分母趋于 $0^+$，分子趋于 $-4$，故极限为 $-\infty$。
若只考虑实数域，左极限不存在，因此极限不存在。
答案： 不存在（或 $-\infty$）

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（3）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{3}-2 x+1}}$

$$
\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{x^{3/2}\sqrt{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x^3}}} = 0
$$
答案： $0$

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（4）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 3} \frac{x+2}{x^{2}-9}$

分母趋于 $0$，分子趋于 $5$，故为无穷大。左右极限符号不同，极限不存在。
答案： 不存在

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（5）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (x^{3})}{\sin^{2} x}$

等价无穷小：$\sin(x^3)\sim x^3$，$\sin x\sim x$，
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x^3}{x^2}=0
$$
答案： $0$

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（6）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$

$$
\tan x-\sin x = \sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}
$$
等价：$\sin x\sim x$，$\displaystyle 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac12
$$
答案： $\displaystyle \frac12$

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（7）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{\ln(1+2x^{3})}$

等价：$\ln(1+2x^3)\sim 2x^3$，
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x^3}{2x^3}=\frac12
$$
答案： $\displaystyle \frac12$

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（8）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\arctan 3x}{\ln(1-2x)}$

等价：$\arctan 3x\sim 3x$，$\ln(1-2x)\sim -2x$，
$$
\lim_{x\to 0}\frac{3x}{-2x}=-\frac32
$$
答案： $\displaystyle -\frac32$

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（9）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{3x}-1}{\sqrt{1+x}-1}$

等价：$\mathrm{e}^{3x}-1\sim 3x$，$\displaystyle \sqrt{1+x}-1\sim \frac{x}{2}$，
$$
\lim_{x\to 0}\frac{3x}{x/2}=6
$$
答案： $6$

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（10）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(\sin x)}{x}$

等价：$\sin(\sin x)\sim \sin x\sim x$，
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1
$$
答案： $1$

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（11）
$\displaystyle{\lim}_{n \rightarrow \infty} n[\ln(n+1)-\ln n]$

$$
\ln(n+1)-\ln n = \ln\left(1+\frac1n\right)\sim\frac1n
$$
$$
\lim_{n\to\infty}n\cdot\frac1n=1
$$
答案： $1$

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（12）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \mathrm{e}} \frac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}$

此为导数定义：
$$
\lim_{x\to e}\frac{\ln x-\ln e}{x-e}=(\ln x)'\big|_{x=e}=\frac1e
$$
答案： $\displaystyle \frac1e$

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（13）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{(\mathrm{e}^{x}-1)\sin x}{1-\cos x}$

等价：$\mathrm{e}^x-1\sim x$，$\sin x\sim x$，$\displaystyle 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot x}{x^2/2}=2
$$
答案： $2$

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（14）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \infty} x^{2}\left(1-\cos\frac1x\right)$

令 $\displaystyle t=\frac1x\to 0$，
$$
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12
$$
答案： $\displaystyle \frac12$

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（15）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin x^{2}}-1}{x\tan x}$

等价：$\displaystyle \sqrt{1+u}-1\sim \frac{u}{2}$，其中 $u=\sin x^2\sim x^2$，分母 $x\tan x\sim x^2$，
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x^2/2}{x^2}=\frac12
$$
答案： $\displaystyle \frac12$

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（16）
$\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(x\tan x)}{\sin 2x}$

等价：$\tan(x\tan x)\sim x\tan x\sim x^2$，$\sin 2x\sim 2x$，
$$
\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{2x}=0
$$
答案： $0$