人邮高数 第6章 第6-4-25题

[AI解答]

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首先，函数为
$$
f(x, y) = 3x^2 + 3y^2 - x^3
$$
区域为闭圆盘 $D: x^2 + y^2 \le 16$，这是一个有界闭区域，连续函数必存在最值，最小值可能在内部驻点或边界上取得。

---

第一步：求内部驻点

计算偏导数：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 6x - 3x^2 = 3x(2 - x)
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = 6y
$$

令它们为零：
$$
6y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 0
$$
$$
3x(2 - x) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0 \quad\text{或}\quad x = 2
$$

得到两个驻点：
$$
(0,0),\quad (2,0)
$$
它们都在圆盘内部（因为 $2^2 + 0^2 = 4 < 16$）。

计算函数值：
$$
f(0,0) = 0
$$
$$
f(2,0) = 3\cdot 4 + 0 - 8 = 12 - 8 = 4
$$

---

第二步：边界上的极值（拉格朗日乘数法）

边界条件：
$$
g(x,y) = x^2 + y^2 - 16 = 0
$$

构造拉格朗日函数：
$$
L(x,y,\lambda) = 3x^2 + 3y^2 - x^3 + \lambda (x^2 + y^2 - 16)
$$

求偏导：
$$
\frac{\partial L}{\partial x} = 6x - 3x^2 + 2\lambda x = 0
$$
$$
\frac{\partial L}{\partial y} = 6y + 2\lambda y = 0
$$
$$
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 16 = 0
$$

由第二个方程：
$$
2y(3 + \lambda) = 0
$$
所以要么 $y=0$，要么 $\lambda = -3$。

---

**情况1：$y = 0$**
代入边界条件：
$$
x^2 = 16 \quad\Rightarrow\quad x = \pm 4
$$
函数值：
$$
f(4,0) = 3\cdot 16 + 0 - 64 = 48 - 64 = -16
$$
$$
f(-4,0) = 3\cdot 16 + 0 - (-64) = 48 + 64 = 112
$$

---

**情况2：$\lambda = -3$**
代入第一个方程：
$$
6x - 3x^2 + 2(-3)x = 6x - 3x^2 - 6x = -3x^2 = 0
$$
所以 $x = 0$。
代入边界条件：
$$
0 + y^2 = 16 \quad\Rightarrow\quad y = \pm 4
$$
函数值：
$$
f(0,4) = 0 + 3\cdot 16 - 0 = 48
$$
$$
f(0,-4) = 48
$$

---

第三步：比较所有候选值

候选点及函数值：
$$
(0,0): 0,\quad (2,0): 4,\quad (4,0): -16,\quad (-4,0): 112,\quad (0,\pm4): 48
$$

最小值为 $-16$，在点 $(4,0)$ 处取得。

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最终答案：
$$
\boxed{-16}
$$

难度：★★☆☆☆
（主要考察多元函数闭区域最值的基本方法，计算量不大，但需注意边界处理）