人邮高数 第6章 第6-4-5题
📝 题目
5．求抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 的切平面，使该切平面平行于平面 $x-y+2 z=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知抛物面方程为
$$
z = x^{2} + y^{2}.
$$
设曲面上任意一点为 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，则 $z_0 = x_0^2 + y_0^2$。
曲面 $z = f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处的切平面方程为
$$
z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0).
$$
计算偏导数：
$$
f_x = 2x,\quad f_y = 2y.
$$
所以在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，切平面方程为
$$
z - (x_0^2 + y_0^2) = 2x_0 (x - x_0) + 2y_0 (y - y_0).
$$
整理得
$$
2x_0 x + 2y_0 y - z = 2x_0^2 + 2y_0^2 - (x_0^2 + y_0^2) = x_0^2 + y_0^2.
$$
即
$$
2x_0 x + 2y_0 y - z = x_0^2 + y_0^2.
$$
已知该切平面平行于平面
$$
x - y + 2z = 0.
$$
两平面平行，则它们的法向量成比例。平面 $x - y + 2z = 0$ 的法向量为
$$
\vec{n}_1 = (1, -1, 2).
$$
切平面的法向量为
$$
\vec{n}_2 = (2x_0, 2y_0, -1).
$$
于是存在常数 $k$ 使得
$$
(2x_0, 2y_0, -1) = k(1, -1, 2).
$$
由第三分量得
$$
-1 = 2k \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{2}.
$$
代入第一、二分量：
$$
2x_0 = k = -\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad x_0 = -\frac{1}{4},
$$
$$
2y_0 = -k = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad y_0 = \frac{1}{4}.
$$
于是
$$
z_0 = x_0^2 + y_0^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{8}.
$$
因此所求切平面方程为
$$
2\left(-\frac{1}{4}\right)x + 2\left(\frac{1}{4}\right)y - z = \frac{1}{8},
$$
即
$$
-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y - z = \frac{1}{8}.
$$
两边乘以 8 化简：
$$
-4x + 4y - 8z = 1,
$$
或等价地
$$
4x - 4y + 8z = -1.
$$
最终结果：
$$
\boxed{4x - 4y + 8z = -1}
$$
难度：★★☆☆☆