人邮高数 第7章 第7-1-11题

[AI解答]

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以下是习题7-1第（1）至（11）小题的详细解答，均采用LaTeX格式，并包含完整步骤。

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（1）
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{d} x \int_{x}^{3x} (x-y) \, \mathrm{d}y
$$

先对 $y$ 积分：
$$
\int_{x}^{3x} (x-y) \, \mathrm{d}y = \left[ x y - \frac{y^{2}}{2} \right]_{y=x}^{y=3x}
= \left( 3x^{2} - \frac{9x^{2}}{2} \right) - \left( x^{2} - \frac{x^{2}}{2} \right)
= \left( -\frac{3x^{2}}{2} \right) - \left( \frac{x^{2}}{2} \right) = -2x^{2}
$$

再对 $x$ 积分：
$$
\int_{0}^{1} (-2x^{2}) \, \mathrm{d}x = -2 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}
$$

答案：$\displaystyle -\frac{2}{3}$

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（2）
$$
\iint_{D} x e^{-2x} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D=[0,1]\times[0,1]
$$

先对 $y$ 积分：
$$
\int_{0}^{1} x e^{-2x} \, \mathrm{d}y = x e^{-2x} \cdot 1 = x e^{-2x}
$$

再对 $x$ 积分：
$$
\int_{0}^{1} x e^{-2x} \, \mathrm{d}x
$$
用分部积分：
$$
= \left[ -\frac{x e^{-2x}}{2} \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{e^{-2x}}{2} \, \mathrm{d}x
= -\frac{e^{-2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \left[ -\frac{e^{-2x}}{2} \right]_{0}^{1}
= -\frac{e^{-2}}{2} - \frac{1}{4}(e^{-2} - 1)
= -\frac{e^{-2}}{2} - \frac{e^{-2}}{4} + \frac{1}{4}
= -\frac{3e^{-2}}{4} + \frac{1}{4}
$$

答案：$\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{3}{4e^{2}}$

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（3）
$$
\iint_{D} x y^{2} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: |x|\le 2, |y|\le 1
$$

区域为矩形，可分离变量：
$$
\int_{-2}^{2} x \, \mathrm{d}x \cdot \int_{-1}^{1} y^{2} \, \mathrm{d}y
$$
第一个积分为零（奇函数对称区间），故结果为0。

答案：$\displaystyle 0$

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（4）
$$
\iint_{D} y \cos(xy) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: 0\le x\le 1,\ 0\le y\le \pi
$$

先对 $x$ 积分：
$$
\int_{0}^{1} y \cos(xy) \, \mathrm{d}x = \left[ \sin(xy) \right]_{x=0}^{x=1} = \sin y
$$

再对 $y$ 积分：
$$
\int_{0}^{\pi} \sin y \, \mathrm{d}y = \left[ -\cos y \right]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2
$$

答案：$\displaystyle 2$

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（5）
$$
\iint_{D} \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: y=x,\ y=2x,\ y=1
$$

区域由三条直线围成，用 $y$ 型积分：$y$ 从 0 到 1，$x$ 从 $y/2$ 到 $y$：
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{d}y \int_{y/2}^{y} \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \left( y - \frac{y}{2} \right) \mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{y}{2} \, \mathrm{d}y = \frac{1}{4}
$$

答案：$\displaystyle \frac{1}{4}$

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（6）
$$
\iint_{D} \frac{y}{x} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: y=3x,\ y=x,\ x=1,\ x=3
$$

先对 $y$ 积分：
$$
\int_{x}^{3x} \frac{y}{x} \, \mathrm{d}y = \frac{1}{x} \cdot \left[ \frac{y^{2}}{2} \right]_{x}^{3x}
= \frac{1}{x} \cdot \frac{9x^{2} - x^{2}}{2} = \frac{1}{x} \cdot 4x^{2} = 4x
$$

再对 $x$ 积分：
$$
\int_{1}^{3} 4x \, \mathrm{d}x = 2x^{2} \Big|_{1}^{3} = 18 - 2 = 16
$$

答案：$\displaystyle 16$

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（7）
$$
\iint_{D} (x^{2}+y^{2}-x) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: y=2,\ y=x,\ y=2x
$$

交点：$y=x$ 与 $y=2x$ 交于原点，与 $y=2$ 交于 $(2,2)$ 和 $(1,2)$。用 $y$ 型：$y$ 从 0 到 2，$x$ 从 $y/2$ 到 $y$：
$$
\int_{0}^{2} \mathrm{d}y \int_{y/2}^{y} (x^{2}+y^{2}-x) \, \mathrm{d}x
$$

先对 $x$ 积分：
$$
\int_{y/2}^{y} (x^{2} - x + y^{2}) \, \mathrm{d}x
= \left[ \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + y^{2}x \right]_{y/2}^{y}
$$
计算：
在 $x=y$：$\frac{y^{3}}{3} - \frac{y^{2}}{2} + y^{3} = \frac{4y^{3}}{3} - \frac{y^{2}}{2}$
在 $x=y/2$：$\frac{y^{3}}{24} - \frac{y^{2}}{8} + \frac{y^{3}}{2} = \frac{13y^{3}}{24} - \frac{y^{2}}{8}$

相减：
$$
\left( \frac{4}{3} - \frac{13}{24} \right) y^{3} + \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{8} \right) y^{2}
= \left( \frac{32}{24} - \frac{13}{24} \right) y^{3} + \left( -\frac{4}{8} + \frac{1}{8} \right) y^{2}
= \frac{19}{24} y^{3} - \frac{3}{8} y^{2}
$$

再对 $y$ 积分：
$$
\int_{0}^{2} \left( \frac{19}{24} y^{3} - \frac{3}{8} y^{2} \right) \mathrm{d}y
= \frac{19}{24} \cdot \frac{16}{4} - \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}
= \frac{19}{24} \cdot 4 - 1 = \frac{19}{6} - 1 = \frac{13}{6}
$$

答案：$\displaystyle \frac{13}{6}$

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（8）
$$
\iint_{D} \sin(x+y) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y,\quad D: x=0,\ y=\pi,\ y=x
$$

区域：$x$ 从 0 到 $\pi$，$y$ 从 $x$ 到 $\pi$：
$$
\int_{0}^{\pi} \mathrm{d}x \int_{x}^{\pi} \sin(x+y) \, \mathrm{d}y
$$

先对 $y$ 积分：
$$
\int_{x}^{\pi} \sin(x+y) \, \mathrm{d}y = \left[ -\cos(x+y) \right]_{y=x}^{y=\pi}
=