人邮高数 第7章 第7-1-2题

[AI解答]

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该立体由椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 的下半部分（$z \leq 0$）构成，因此体积为整个椭球体积的一半。

椭球方程可改写为：
$$
\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}
$$
由于 $z \leq 0$，有
$$
z = -c \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}}
$$

立体在 $xOy$ 平面上的投影区域 $D$ 为：
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1
$$
即一个椭圆区域。

因此，所求体积 $V$ 可用二重积分表示为：
$$
V = \iint_{D} \left( -c \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}} \right) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$
由于被积函数为负，但体积取正值，故实际体积为：
$$
V = \iint_{D} c \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$
其中积分区域：
$$
D = \left\{ (x, y) \;\middle|\; \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 \right\}
$$

若采用广义极坐标变换：
$$
x = a r \cos\theta,\quad y = b r \sin\theta,\quad 0 \leq r \leq 1,\quad 0 \leq \theta \leq 2\pi
$$
雅可比行列式为 $ab r$，则体积可进一步写为：
$$
V = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} c \sqrt{1 - r^{2}} \cdot ab\, r \, \mathrm{d}r
$$
即：
$$
V = abc \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} r \sqrt{1 - r^{2}} \, \mathrm{d}r
$$

最终积分区域表达式：
$$
\boxed{V = \iint\limits_{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leq 1} c\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}
$$
积分区域：
$$
\boxed{D = \left\{(x,y)\ \Big|\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1\right\}}
$$

难度：★★☆☆☆