人邮高数 第7章 第7-1-29题
📝 题目
29．求由坐标轴与直线 $2 x+y=6$ 所围成的三角形均匀薄片的质心。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求由坐标轴和直线 $2x + y = 6$ 所围成的三角形均匀薄片的质心。
该三角形区域为第一象限内，直线与 $x$ 轴交点为 $(3,0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0,6)$。
因为是均匀薄片，质心即为形心，坐标公式为：
$$
\bar{x} = \frac{\displaystyle\iint_D x \, dA}{\displaystyle\iint_D dA}, \quad
\bar{y} = \frac{\displaystyle\iint_D y \, dA}{\displaystyle\iint_D dA}
$$
第一步：求面积
区域 $D$：$0 \le x \le 3$，$0 \le y \le 6 - 2x$。
$$
A = \iint_D dA = \int_{0}^{3} \int_{0}^{6-2x} dy \, dx
= \int_{0}^{3} (6 - 2x) \, dx
= \left[ 6x - x^2 \right]_{0}^{3}
= 18 - 9 = 9
$$
**第二步：求 $\bar{x}$**
$$
\iint_D x \, dA = \int_{0}^{3} x \left( \int_{0}^{6-2x} dy \right) dx
= \int_{0}^{3} x (6 - 2x) \, dx
= \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx
= \left[ 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{3}
= 27 - 18 = 9
$$
所以
$$
\bar{x} = \frac{9}{9} = 1
$$
**第三步：求 $\bar{y}$**
$$
\iint_D y \, dA = \int_{0}^{3} \int_{0}^{6-2x} y \, dy \, dx
= \int_{0}^{3} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{6-2x} dx
= \int_{0}^{3} \frac{(6-2x)^2}{2} \, dx
$$
先展开：$(6-2x)^2 = 36 - 24x + 4x^2$，除以2得 $18 - 12x + 2x^2$。
积分：
$$
\int_{0}^{3} (18 - 12x + 2x^2) \, dx
= \left[ 18x - 6x^2 + \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{3}
= 54 - 54 + 18 = 18
$$
所以
$$
\bar{y} = \frac{18}{9} = 2
$$
结论：质心坐标为 $(1, 2)$。
难度：★☆☆☆☆