人邮高数 第7章 第7-1-4题
📝 题目
4．比较 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ 与 $I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ 的大小，其中 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，则
$\_\_\_\_$。
A．$I_{1}=I_{2}$
B．$I_{1}\lt I_{2}$
C．$I_{1}\gt I_{2}$
D．无法比较
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
要比较积分
$$
I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma,\quad
I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} \sigma
$$
的大小，其中区域 $D: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$。
在区域 $D$ 内，对于任意点 $(x,y)$，有
$$
0 \le x^{2}+y^{2} \le 1
$$
因此，在 $D$ 上，比较被积函数：
$$
x^{2}+y^{2} \quad\text{与}\quad (x^{2}+y^{2})^{2}
$$
由于 $0 \le r \le 1$ 时，有
$$
r^{2} \ge r^{4}
$$
（因为 $r^{2}(1 - r^{2}) \ge 0$），并且等号仅在 $r=0$ 或 $r=1$ 时成立，而在区域内部严格有 $r^{2} > r^{4}$。
于是，在 $D$ 上几乎处处有
$$
x^{2}+y^{2} > (x^{2}+y^{2})^{2}
$$
由积分保序性可知：
$$
I_{1} > I_{2}
$$
因此正确答案是 C．$I_{1}\gt I_{2}$。
难度：★☆☆☆☆