人邮高数 第1章 第1-7-1题

[AI解答]

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1. 选择题

（1）函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(x-3)(x+5)}$ 在区间（ ）上连续；
答案：B
理由：函数为有理分式，间断点出现在分母为零处，即 $x=0,3,-5$。
选项 A：$(-4,3)$ 包含 $0$，不连续；
选项 B：$(-4,-1)$ 不包含任何间断点，故连续；
选项 C：$(-8,-4)$ 包含 $-5$，不连续；
选项 D：$(1,4)$ 包含 $3$，不连续。
因此选 B。

（2）若 $\displaystyle{\lim}_{x \rightarrow \infty} x^{k} \arctan \frac{2}{x^{2}}=2$，则 $k=(\quad)$；
答案：A
理由：当 $x\to\infty$ 时，$\displaystyle \arctan\frac{2}{x^2}\sim\frac{2}{x^2}$，因此
$$
\displaystyle{\lim}_{x\to\infty}x^k\cdot\frac{2}{x^2}=2\lim_{x\to\infty}x^{k-2}=2
$$
故需 $k-2=0$，即 $k=2$。

（3）$\displaystyle{\lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{4 n^{2}+n}+n}{n+2}=(\quad)$；
答案：D
理由：分子分母同除以 $n$：
$$
\displaystyle{\lim}_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}}+1}{1+\frac{2}{n}}=\frac{\sqrt{4}+1}{1}=3
$$

（4）函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{x+1}+\frac{x^{2}-1}{(x-1)(x+3)}$ 的间断点的个数为（ ）；
答案：B
理由：$\sqrt{x+1}$ 要求 $x+1\ge0$，即 $x\ge-1$，但定义域还需考虑分母 $(x-1)(x+3)\neq0$，即 $x\neq1$ 且 $x\neq-3$。
由于 $x=-3$ 已不在 $\sqrt{x+1}$ 的定义域内，所以实际间断点只考虑在定义域边界或分母零点且属于定义域的点：
$x=-1$ 为左端点，可能间断；$x=1$ 为分母零点且在定义域内（$1\ge-1$），故为间断点。
因此间断点个数为 2（$x=-1$ 和 $x=1$）。

（5）函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, & x\gt 0 \\ x+1, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处间断是因为（ ）；
答案：C
理由：
左极限：$\displaystyle{\lim}_{x\to0^-}f(x)=\displaystyle{\lim}_{x\to0^-}(x+1)=1$；
右极限：$\displaystyle{\lim}_{x\to0^+}f(x)=\displaystyle{\lim}_{x\to0^+}(1+\mathrm{e}^{1/x})=1+\infty=+\infty$，不存在。
因此 $\displaystyle{\lim}_{x\to0}f(x)$ 不存在，故选 C。

（6）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{e}^{2 x}-1}{k x}, & x\gt 0, \\ 1-x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处连续，则 $k=()$．
答案：D
理由：
左极限：$\displaystyle{\lim}_{x\to0^-}f(x)=\displaystyle{\lim}_{x\to0^-}(1-x)=1$；
右极限：$\displaystyle{\lim}_{x\to0^+}f(x)=\displaystyle{\lim}_{x\to0^+}\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{k x}=\displaystyle{\lim}_{x\to0^+}\frac{2x}{k x}=\frac{2}{k}$（利用等价无穷小 $\mathrm{e}^{2x}-1\sim 2x$）。
连续要求 $\displaystyle \frac{2}{k}=1$，得 $k=2$。