人邮高数 第7章 第7-2-10题

教材习题

📝 题目

10．设函数 $f(t)$ 连续，且 $f(0)=0, F(t)=\displaystyle{\iiint}_{\Omega_{t}}\left[z^{2}+f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right] \mathrm{d} v$ ，其中 $\Omega_{t}=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant t^{2}, 0 \leqslant z \leqslant 1\right\}$ ，求 $\displaystyle{\lim} _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{2}}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

我们已知
$$
F(t)=\iiint_{\Omega_t}\left[z^2+f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\right] \mathrm{d}v,
$$
其中
$$
\Omega_t=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le t^2,\ 0\le z\le 1\}.
$$

这是一个柱形区域，底面半径为 $t$，高为 $1$。采用柱坐标变换：
$$
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
$$
体积元 $\mathrm{d}v=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$，积分区域为
$0\le r\le t,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le z\le 1$。

于是
$$
F(t)=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{t}r\,\mathrm{d}r\int_{0}^{1}\left[z^2+f(r)\right]\mathrm{d}z.
$$

先对 $z$ 积分：
$$
\int_{0}^{1}z^2\,\mathrm{d}z=\frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}f(r)\,\mathrm{d}z=f(r).
$$
所以
$$
F(t)=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{t}r\left[\frac{1}{3}+f(r)\right]\mathrm{d}r
=2\pi\int_{0}^{t}r\left[\frac{1}{3}+f(r)\right]\mathrm{d}r.
$$

因此
$$
\frac{F(t)}{t^{2}}=\frac{2\pi}{t^{2}}\int_{0}^{t}r\left[\frac{1}{3}+f(r)\right]\mathrm{d}r.
$$

当 $t\to0^{+}$ 时，这是 $\frac{0}{0}$ 型极限，用洛必达法则（对 $t$ 求导，注意积分上限求导公式）：
$$
\lim_{t\to0^{+}}\frac{F(t)}{t^{2}}
=2\pi\lim_{t\to0^{+}}\frac{\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{0}^{t}r\left[\frac{1}{3}+f(r)\right]\mathrm{d}r}{2t}.
$$

分子导数为 $t\left[\frac{1}{3}+f(t)\right]$，所以
$$
\lim_{t\to0^{+}}\frac{F(t)}{t^{2}}
=2\pi\lim_{t\to0^{+}}\frac{t\left[\frac{1}{3}+f(t)\right]}{2t}
=2\pi\lim_{t\to0^{+}}\frac{\frac{1}{3}+f(t)}{2}.
$$

由已知 $f(0)=0$ 且 $f$ 连续，故 $\displaystyle\lim_{t\to0^{+}}f(t)=0$，所以
$$
\lim_{t\to0^{+}}\frac{F(t)}{t^{2}}=2\pi\cdot\frac{\frac{1}{3}+0}{2}=\frac{\pi}{3}.
$$

最终结果为：
$$
\boxed{\dfrac{\pi}{3}}.
$$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将三重积分化为柱坐标下的累次积分
由于积分区域是柱体，采用柱坐标变换：x=r cosθ, y=r sinθ, z=z，体积元 dv = r dr dθ dz。积分区域：0≤r≤t, 0≤θ≤2π, 0≤z≤1。则 F(t)=∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{t} r dr ∫_{0}^{1} [z^2+f(r)] dz。
公式：dv = r dr dθ dz
提示：注意柱坐标变换中r是雅可比行列式。
步骤 2/5
目标：计算内层对z的积分
先对z积分：∫_{0}^{1} z^2 dz = 1/3，∫_{0}^{1} f(r) dz = f(r)。所以 F(t)=∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{t} r [1/3+f(r)] dr = 2π ∫_{0}^{t} r [1/3+f(r)] dr。
公式：∫_{0}^{1} z^2 dz = 1/3
提示：f(r)与z无关，可直接提出。
步骤 3/5
目标：写出F(t)/t^2的表达式
F(t)/t^2 = (2π/t^2) ∫_{0}^{t} r [1/3+f(r)] dr。
步骤 4/5
目标：利用洛必达法则求极限
当t→0+时，分子分母均趋于0，使用洛必达法则：lim_{t→0+} F(t)/t^2 = 2π lim_{t→0+} [d/dt ∫_{0}^{t} r(1/3+f(r)) dr] / (2t)。分子导数为 t[1/3+f(t)]，所以原极限 = 2π lim_{t→0+} [t(1/3+f(t))]/(2t) = 2π lim_{t→0+} (1/3+f(t))/2。
公式：d/dt ∫_{0}^{t} g(r) dr = g(t)
提示：注意洛必达法则适用条件。
步骤 5/5
目标：代入f(0)=0得到最终结果
由f连续且f(0)=0，得lim_{t→0+} f(t)=0，故极限 = 2π * (1/3)/2 = π/3。
提示：f(0)=0是已知条件。

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