人邮高数 第1章 第1-7-10题

[AI解答]

[AI解答]

要证明方程 $x^{5}-3x-1=0$ 至少有一个实根介于 1 与 2 之间，我们可以利用零点定理（介值定理的一个推论）。

步骤1：构造函数
令
$$
f(x)=x^{5}-3x-1
$$
这是一个多项式函数，在 $\mathbb{R}$ 上连续，因此在闭区间 $[1,2]$ 上也连续。

步骤2：计算端点函数值
当 $x=1$ 时：
$$
f(1)=1^{5}-3\cdot 1-1=1-3-1=-3
$$
当 $x=2$ 时：
$$
f(2)=2^{5}-3\cdot 2-1=32-6-1=25
$$

步骤3：判断符号
我们有
$$
f(1)=-3<0,\quad f(2)=25>0
$$
即 $f(1)$ 与 $f(2)$ 异号。

步骤4：应用零点定理
由于 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，且 $f(1)\cdot f(2)<0$，由零点定理可知，至少存在一点 $c\in(1,2)$，使得
$$
f(c)=0
$$
即 $c$ 是方程 $x^{5}-3x-1=0$ 的一个实根，且介于 1 与 2 之间。

因此，原命题得证。