人邮高数 第7章 第7-3-11题

[AI解答]

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第一步：分析曲线与方向
曲线 $L$ 由球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 与圆柱面 $x^2+y^2=ax$ 相交得到，且 $z\ge 0$。
从 $z$ 轴正向朝下看（即俯视 $xy$ 平面），曲线方向为逆时针。

第二步：使用斯托克斯公式
令
$$
P=y^2,\quad Q=z^2,\quad R=x^2
$$
斯托克斯公式：
$$
\oint_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_S \left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy\,dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) dz\,dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial R}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=2z,\quad \frac{\partial P}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=2y
$$
代入得：
$$
\iint_S (0-2z)\,dy\,dz + (0-2x)\,dz\,dx + (0-2y)\,dx\,dy
$$
即：
$$
\iint_S -2z\,dy\,dz -2x\,dz\,dx -2y\,dx\,dy
$$

第三步：选取曲面与投影
取曲面 $S$ 为球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 上被 $x^2+y^2=ax$ 所截的部分，方向与曲线方向符合右手法则（取上侧）。
将曲面积分投影到 $xy$ 平面计算更方便。此时：
$$
dz\,dx = -\frac{\partial z}{\partial y} dx\,dy,\quad dy\,dz = -\frac{\partial z}{\partial x} dx\,dy
$$
由 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 得：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z}
$$
于是：
$$
dy\,dz = -\frac{\partial z}{\partial x} dx\,dy = \frac{x}{z} dx\,dy,\quad dz\,dx = -\frac{\partial z}{\partial y} dx\,dy = \frac{y}{z} dx\,dy
$$
代入曲面积分：
$$
\iint_S -2z\left(\frac{x}{z}\right) -2x\left(\frac{y}{z}\right) -2y\; dx\,dy
$$
化简：
$$
\iint_S -2x - \frac{2xy}{z} - 2y \; dx\,dy
$$
注意这里 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$。

第四步：利用对称性简化
积分区域 $D$：$x^2+y^2=ax$，即 $(x-\frac{a}{2})^2+y^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2$。
由于区域关于 $x$ 轴对称，且被积函数中 $\frac{2xy}{z}$ 是 $y$ 的奇函数，该项积分为零。
于是：
$$
I = \iint_D (-2x-2y)\,dx\,dy
$$
又因区域关于 $x$ 轴对称，$-2y$ 的积分为零，剩下：
$$
I = -2\iint_D x\,dx\,dy
$$

第五步：计算二重积分
区域 $D$ 是圆盘 $(x-\frac{a}{2})^2+y^2 \le \left(\frac{a}{2}\right)^2$。
用平移：令 $u=x-\frac{a}{2},\ v=y$，则区域变为 $u^2+v^2\le \left(\frac{a}{2}\right)^2$，且 $x=u+\frac{a}{2}$。
于是：
$$
\iint_D x\,dx\,dy = \iint_{u^2+v^2\le (a/2)^2} \left(u+\frac{a}{2}\right) du\,dv
$$
由对称性，$u$ 的积分为零，剩下：
$$
= \frac{a}{2} \cdot \text{面积} = \frac{a}{2} \cdot \pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a}{2}\cdot \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^3}{8}
$$
因此：
$$
I = -2 \cdot \frac{\pi a^3}{8} = -\frac{\pi a^3}{4}
$$

第六步：最终答案
$$
\boxed{-\dfrac{\pi a^{3}}{4}}
$$

难度评级：★★★☆☆
（需熟练运用斯托克斯公式、曲面积分投影及对称性化简，计算量适中）