人邮高数 第7章 第7-3-7题
📝 题目
7．计算曲线积分 $\displaystyle{\oint}_{L}|y| \mathrm{d} x+|x| \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 为以 $A(1,0) 、 B(0,1)$ 及 $C(-1,0)$ 为顶点的三角形区域的正向边界曲线。
💡 答案解析
[AI解答]
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我们首先明确积分路径：
三角形顶点为 $A(1,0)$, $B(0,1)$, $C(-1,0)$，正向边界即逆时针方向。
曲线积分表达式为
$$
\oint_L |y|\,dx + |x|\,dy
$$
由于被积函数含绝对值，需要分段处理，按三角形三条边分别计算。
第一步：分段写出各边方程及方向
- 边 $AB$：从 $A(1,0)$ 到 $B(0,1)$，直线方程 $x+y=1$，其中 $x\ge 0, y\ge 0$，因此 $|x|=x, |y|=y$。
参数化：令 $x=t$，则 $y=1-t$，$t$ 从 $1$ 到 $0$（注意方向）。
$dx=dt,\ dy=-dt$。
- 边 $BC$：从 $B(0,1)$ 到 $C(-1,0)$，直线方程 $y = x+1$，此时 $x\le 0, y\ge 0$，因此 $|x|=-x, |y|=y$。
参数化：令 $x=t$，则 $y=t+1$，$t$ 从 $0$ 到 $-1$。
$dx=dt,\ dy=dt$。
- 边 $CA$：从 $C(-1,0)$ 到 $A(1,0)$，沿 $x$ 轴，$y=0$，此时 $|y|=0$，且 $|x|$ 分段：
从 $C$ 到原点 $(-1\to 0)$，$x\le 0$ 所以 $|x|=-x$；
从原点到 $A$ $(0\to 1)$，$x\ge 0$ 所以 $|x|=x$。
但注意沿 $y=0$ 时 $dy=0$，所以第二项 $|x|dy=0$，第一项 $|y|dx=0$，因此整条边积分为 0。
第二步：计算各段积分
(1) 边 $AB$：
$$
\int_{AB} y\,dx + x\,dy
= \int_{t=1}^{0} \big[ (1-t) \cdot dt + t \cdot (-dt) \big]
= \int_{1}^{0} (1-t - t)\,dt = \int_{1}^{0} (1-2t)\,dt
$$
计算：
$$
\int_{1}^{0} (1-2t)\,dt = \left[ t - t^2 \right]_{1}^{0} = (0-0) - (1-1) = 0
$$
(2) 边 $BC$：
$$
\int_{BC} y\,dx + (-x)\,dy
= \int_{t=0}^{-1} \big[ (t+1)\,dt + (-t)\,dt \big]
= \int_{0}^{-1} (t+1 - t)\,dt = \int_{0}^{-1} 1\,dt = -1
$$
(3) 边 $CA$：如上分析，被积函数为 0，积分值为 0。
第三步：求和
$$
\oint_L |y|dx + |x|dy = 0 + (-1) + 0 = -1
$$
因此曲线积分结果为 $-1$。
难度评级：★★☆☆☆
（主要考察绝对值分段处理与参数化，计算量小，但需细心分段）