人邮高数 第7章 第7-5-15题

[AI解答]

[AI解答]

首先，题目要求微分方程
$$
\varphi(x) y \, dx + \left( \sin x - \varphi'(x) \right) dy = 0
$$
为全微分方程。
设
$$
P(x,y) = \varphi(x) y,\quad Q(x,y) = \sin x - \varphi'(x).
$$
全微分方程的条件是
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
$$

计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \varphi(x),
$$
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = \cos x - \varphi''(x).
$$

令两者相等：
$$
\varphi(x) = \cos x - \varphi''(x).
$$
整理得二阶线性微分方程：
$$
\varphi''(x) + \varphi(x) = \cos x.
$$

解此方程：
对应齐次方程 $\varphi'' + \varphi = 0$ 的通解为
$$
\varphi_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x.
$$
非齐次项 $\cos x$ 是齐次解的一部分，因此设特解形式为
$$
\varphi_p(x) = x (A \cos x + B \sin x).
$$
求导：
$$
\varphi_p'(x) = (A \cos x + B \sin x) + x(-A\sin x + B\cos x),
$$
$$
\varphi_p''(x) = (-A\sin x + B\cos x) + (-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x)
= -2A\sin x + 2B\cos x - x(A\cos x + B\sin x).
$$

代入方程 $\varphi_p'' + \varphi_p = \cos x$：
$$
\left[-2A\sin x + 2B\cos x - x(A\cos x + B\sin x)\right] + x(A\cos x + B\sin x) = \cos x,
$$
化简得
$$
-2A\sin x + 2B\cos x = \cos x.
$$
比较系数得：
$$
-2A = 0 \Rightarrow A=0,\quad 2B = 1 \Rightarrow B = \frac12.
$$
所以特解为
$$
\varphi_p(x) = \frac{x}{2} \sin x.
$$

因此通解为
$$
\varphi(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \frac{x}{2} \sin x.
$$

利用初始条件 $\varphi(0)=0$：
$$
C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 + 0 = 0 \Rightarrow C_1=0.
$$
又 $\varphi'(0)=0$：先求导
$$
\varphi'(x) = C_2 \cos x + \frac12 \sin x + \frac{x}{2} \cos x,
$$
代入 $x=0$：
$$
\varphi'(0) = C_2 \cdot 1 + 0 + 0 = 0 \Rightarrow C_2=0.
$$

所以
$$
\varphi(x) = \frac{x}{2} \sin x.
$$

此时原方程为全微分方程，代入 $\varphi(x)$：
$$
P = \frac{x}{2} \sin x \cdot y,\quad Q = \sin x - \left( \frac12 \sin x + \frac{x}{2} \cos x \right) = \frac12 \sin x - \frac{x}{2} \cos x.
$$

求原函数 $u(x,y)$ 满足
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x y}{2} \sin x,\quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac12 \sin x - \frac{x}{2} \cos x.
$$

对 $y$ 积分第二式：
$$
u(x,y) = y\left( \frac12 \sin x - \frac{x}{2} \cos x \right) + h(x).
$$

对 $x$ 求偏导：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = y\left( \frac12 \cos x - \frac12 \cos x + \frac{x}{2} \sin x \right) + h'(x) = y \cdot \frac{x}{2} \sin x + h'(x).
$$
与第一式比较得 $h'(x)=0$，即 $h(x)=C$（常数）。

所以通解为
$$
y\left( \frac12 \sin x - \frac{x}{2} \cos x \right) = C.
$$
或写作
$$
y(\sin x - x \cos x) = C_1.
$$

最终结果：
$$
\boxed{\varphi(x)=\dfrac{x}{2}\sin x,\quad \text{通解为 } y(\sin x - x\cos x)=C}
$$

难度：★★★☆☆