人邮高数 第7章 第7-5-*20题
📝 题目
＊20．求向量场 $\boldsymbol{A}=x^{2} \sin y \boldsymbol{i}+y^{2} \sin z \boldsymbol{j}+z^{2} \sin x \boldsymbol{k}$ 的旋度．
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline 二重、三重积分 & \begin{tabular}{l}
理解二重积分、三重积分的概念 \\
了解重积分的性质 \\
掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标） \\
了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标）
\end{tabular} \\
\hline 曲线、曲面积分 & \begin{tabular}{l}
理解两类曲线积分的概念 \\
了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 \\
会计算两类曲线积分 \\
了解两类曲面积分的概念 \\
会计算两类曲面积分
\end{tabular} \\
\hline 积分联系 & \begin{tabular}{l}
掌握格林（Green）公式 \\
会使用平面曲线积分与路径无关的条件 \\
了解高斯（Guass）、斯托克斯（Stokes）公式 \\
了解散度、旋度的计算公式
\end{tabular} \\
\hline 积分应用 & 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等） \\
\hline
\end{tabular}
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
本题要求计算向量场 $\boldsymbol{A}=x^{2} \sin y \boldsymbol{i}+y^{2} \sin z \boldsymbol{j}+z^{2} \sin x \boldsymbol{k}$ 的旋度。
旋度的计算公式为：
$$
\operatorname{rot} \boldsymbol{A} = \nabla \times \boldsymbol{A} =
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}} \\
P & Q & R
\end{vmatrix}
$$
其中 $P = x^{2} \sin y,\quad Q = y^{2} \sin z,\quad R = z^{2} \sin x$。
按行列式展开：
$$
\operatorname{rot} \boldsymbol{A} =
\left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \boldsymbol{i}
+ \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \boldsymbol{j}
+ \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \boldsymbol{k}
$$
分别计算各偏导数：
1. 对于 $\boldsymbol{i}$ 分量：
$$
\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(z^{2} \sin x) = 0
$$
$$
\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(y^{2} \sin z) = y^{2} \cos z
$$
所以：
$$
\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 0 - y^{2} \cos z = -y^{2} \cos z
$$
2. 对于 $\boldsymbol{j}$ 分量：
$$
\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x^{2} \sin y) = 0
$$
$$
\frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(z^{2} \sin x) = z^{2} \cos x
$$
所以：
$$
\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 0 - z^{2} \cos x = -z^{2} \cos x
$$
3. 对于 $\boldsymbol{k}$ 分量：
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y^{2} \sin z) = 0
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2} \sin y) = x^{2} \cos y
$$
所以：
$$
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - x^{2} \cos y = -x^{2} \cos y
$$
因此，旋度为：
$$
\boxed{\operatorname{rot} \boldsymbol{A} = -y^{2} \cos z \ \boldsymbol{i} - z^{2} \cos x \ \boldsymbol{j} - x^{2} \cos y \ \boldsymbol{k}}
$$
难度：★☆☆☆☆