人邮高数 第8章 第8-1-5题

[AI解答]

[AI解答]

我们逐项判断级数的敛散性。

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（1）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1) n}$

解：
利用裂项法：
$$
\frac{1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}
$$
部分和：
$$
S_N = \sum_{n=2}^{N} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) = 1 - \frac{1}{N}
$$
当 $N \to \infty$ 时，$S_N \to 1$，所以级数收敛。

结论：收敛。

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（2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n+1}{n}$

解：
$$
\ln \frac{n+1}{n} = \ln(n+1) - \ln n
$$
部分和：
$$
S_N = \sum_{n=1}^{N} [\ln(n+1) - \ln n] = \ln(N+1) - \ln 1 = \ln(N+1)
$$
当 $N \to \infty$，$S_N \to \infty$，所以级数发散。

结论：发散。

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（3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)$

解：
这是两个收敛的等比级数之和：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{\frac12}{1-\frac12} = 1,\quad
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} = \frac{\frac13}{1-\frac13} = \frac12
$$
所以原级数收敛，和为 $\displaystyle 1 + \frac12 = \frac32$。

结论：收敛。

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（4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

解：
有理化：
$$
\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}
$$
部分和：
$$
S_N = \sum_{n=1}^{N} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \sqrt{N+1} - 1
$$
当 $N \to \infty$，$S_N \to \infty$，所以级数发散。

结论：发散。

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（5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}[a+(n-1) b]\quad (a>0, b>0)$

解：
通项为 $a + (n-1)b$，当 $n \to \infty$ 时，通项 $\to \infty \neq 0$，由级数收敛的必要条件可知级数发散。

结论：发散。

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（6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{8^{n}}{9^{n}}$

解：
这是公比 $\displaystyle q = -\frac{8}{9}$ 的等比级数，且 $\displaystyle |q| = \frac{8}{9} < 1$，所以收敛。

首项为 $\displaystyle -\frac{8}{9}$，和为：
$$
\frac{-\frac{8}{9}}{1 - (-\frac{8}{9})} = \frac{-\frac{8}{9}}{1 + \frac{8}{9}} = \frac{-\frac{8}{9}}{\frac{17}{9}} = -\frac{8}{17}
$$

结论：收敛。

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最终答案：
1. 收敛
2. 发散
3. 收敛
4. 发散
5. 发散
6. 收敛

难度评级：★☆☆☆☆