人邮高数 第8章 第8-2-6题
📝 题目
6．判定下列级数的敛散性，若级数收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛．
（1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ ；
（2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}$ ；
（3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n}}$ ；
（4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n}$ ；
（5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{10 n+1}$ ；
（6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{2 n^{3}+4}}$ ；
（7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}} \sin \frac{\pi}{n}$ ；
（8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n}$ ；
（9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ ；
（10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\pi}{n^{2}}\right)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们逐小题判定敛散性，并判断绝对收敛或条件收敛。
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（1）
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}
$$
这是交错级数，通项绝对值 $\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知收敛。
考虑绝对值级数 $\sum \left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ 是公比 $r=\frac{2}{3}<1$ 的等比级数，收敛。
故原级数绝对收敛。
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（2）
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}
$$
绝对值级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ 与 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 同敛散，发散（p=1/2<1）。
交错项 $\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ 递减趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛。
故条件收敛。
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（3）
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n}{3^{n}}
$$
绝对值级数 $\sum \frac{n}{3^{n}}$，用比值法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)/3^{n+1}}{n/3^{n}} = \frac{1}{3}<1
$$
故绝对收敛。
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（4）
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n}
$$
通项绝对值 $\frac{n-1}{n} \to 1 \neq 0$，通项不趋于0，级数发散。
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（5）
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{10 n+1}
$$
通项绝对值 $\frac{n}{10n+1} \to \frac{1}{10} \neq 0$，通项不趋于0，级数发散。
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（6）
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{2 n^{3}+4}}
$$
绝对值级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{2n^{3}+4}} \sim \sum \frac{1}{n^{3/2}}$，p=3/2>1，收敛。
故绝对收敛。
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（7）
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}} \sin \frac{\pi}{n}
$$
绝对值 $\frac{|\sin(\pi/n)|}{3^{n}} \le \frac{1}{3^{n}}$，而 $\sum \frac{1}{3^{n}}$ 收敛，由比较判别法知绝对收敛。
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（8）
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n}
$$
绝对值级数 $\sum \frac{\ln n}{n}$，与 $\sum \frac{1}{n}$ 比较：$\frac{\ln n}{n} > \frac{1}{n}$ 对 $n\ge3$，故发散。
交错项 $\frac{\ln n}{n}$ 当 $n\ge3$ 时递减趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛。
故条件收敛。
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（9）
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})
$$
先化简：
$$
\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \sim \frac{1}{2\sqrt{n}}
$$
绝对值级数 $\sum \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ 发散（与 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 同敛散）。
交错项单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛。
故条件收敛。
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（10）
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\cos \frac{\pi}{n^{2}}\right)
$$
利用 $1-\cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$，当 $x\to0$，得：
$$
1-\cos\frac{\pi}{n^{2}} \sim \frac{\pi^{2}}{2n^{4}}
$$
绝对值级数 $\sum \frac{\pi^{2}}{2n^{4}}$ 收敛（p=4>1）。
故绝对收敛。
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最终答案汇总：
| 题号 | 敛散性 | 绝对/条件收敛 |
|------|--------|----------------|
| (1) | 收敛 | 绝对收敛 |
| (2) | 收敛 | 条件收敛 |
| (3) | 收敛 | 绝对收敛 |
| (4) | 发散 | — |
| (5) | 发散 | — |
| (6) | 收敛 | 绝对收敛 |
| (7) | 收敛 | 绝对收敛 |
| (8) | 收敛 | 条件收敛 |
| (9) | 收敛 | 条件收敛 |
| (10) | 收敛 | 绝对收敛 |
难度：★★☆☆☆