人邮高数 第8章 第8-2-7题
📝 题目
7．设 $a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，证明级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收敛．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
证明：
已知对于所有正整数 $n$，有
$$
a_n \le c_n \le b_n
$$
且级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 与 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ 均收敛。
考虑构造新数列
$$
0 \le c_n - a_n \le b_n - a_n
$$
由于 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ 与 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 均收敛，它们的差级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (b_n - a_n)
$$
也收敛（收敛级数的线性组合仍收敛）。
又因为 $0 \le c_n - a_n \le b_n - a_n$，由正项级数的比较判别法可知
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (c_n - a_n)
$$
收敛。
最后，注意到
$$
c_n = a_n + (c_n - a_n)
$$
而 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 与 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (c_n - a_n)}$ 均收敛，故它们的和级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} c_n
$$
也收敛。证毕。
难度评级：★★☆☆☆
（主要考察比较判别法与收敛级数的线性性质，思路直接，计算量小。）