人邮高数 第1章 第1-7-6题
📝 题目
6．设分段函数
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\cos x}{x+2}, & x \geqslant 0, \\ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x}, & x\lt 0(a\gt 0) .\end{cases}
$$
（1）$a$ 取什么值时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的连续点？
（2）$a=2$ 时，求 $f(x)$ 的连续区间．
💡 答案解析
[AI解答]
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习题6解答
已知分段函数
$$
f(x)= \begin{cases}
\displaystyle{}\frac{\cos x}{x+2}, & x \geqslant 0, \$$1em]
\displaystyle{}\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x}, & x<0 \quad (a>0).
\end{cases}
$$
---
（1）求 $a$ 使 $x=0$ 为连续点
函数在 $x=0$ 处连续的条件是：
$$
\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0).
$$
第一步：计算右极限与函数值
当 $x \to 0^+$ 时，
$$
\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\cos x}{x+2} = \frac{\cos 0}{0+2} = \frac{1}{2}.
$$
并且由定义，$f(0) = \frac{\cos 0}{0+2} = \frac12$，所以右极限等于函数值。
第二步：计算左极限
当 $x\to 0^-$ 时，
$$
\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a-x}}{x}.
$$
这是一个 $\frac{0}{0}$ 型未定式，进行有理化：
$$
\sqrt{a} - \sqrt{a-x} = \frac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a-x})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{a-x}} = \frac{a - (a-x)}{\sqrt{a} + \sqrt{a-x}} = \frac{x}{\sqrt{a} + \sqrt{a-x}}.
$$
因此，
$$
\frac{\sqrt{a} - \sqrt{a-x}}{x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{a} + \sqrt{a-x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a-x}}.
$$
于是
$$
\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a-x}} = \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a}} = \frac{1}{2\sqrt{a}}.
$$
第三步：令左右极限相等
连续要求
$$
\frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac12 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{a}} = 1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{a}=1 \quad\Rightarrow\quad a=1.
$$
因此，当 $a=1$ 时，$x=0$ 是连续点。
答案（1）： $a=1$。
---
（2）$a=2$ 时，求 $f(x)$ 的连续区间
当 $a=2$ 时，
$$
f(x)= \begin{cases}
\displaystyle{}\frac{\cos x}{x+2}, & x \geqslant 0, \$$1em]
\displaystyle{}\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}}{x}, & x<0.
\end{cases}
$$
第一步：考察分段表达式各自的连续区间
- 当 $x>0$ 时，$\frac{\cos x}{x+2}$ 是初等函数，分母 $x+2>0$，因此在 $(0,+\infty)$ 上连续。
- 当 $x<0$ 时，$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}}{x}$ 要求根号内 $2-x>0$，即 $x<2$，在 $x<0$ 时自然成立，且分母 $x\neq 0$，因此它在 $(-\infty,0)$ 上连续。
**第二步：检查分段点 $x=0$ 的连续性**
由（1）中计算，当 $a=2$ 时：
- 右极限：$\displaystyle{}\lim_{x\to 0^+} f(x) = \frac12$。
- 左极限：$\displaystyle{}\lim_{x\to 0^-} f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
- 函数值：$f(0)=\frac12$。
由于 $\frac12 \neq \frac{\sqrt{2}}{4}$，所以 $x=0$ 是间断点。
第三步：连续区间
除去 $x=0$ 外，函数在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别连续，因此连续区间为：
$$
(-\infty,0) \cup (0,+\infty).
$$
答案（2）： 连续区间为 $(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$。