人邮高数 第8章 第8-4-1题

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习题8-4 第1题解答

周期为 $2\pi$ 的函数傅里叶级数展开式为：
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)
$$
其中
$$
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx,
$$
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx,
$$
$$
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx.
$$

---

（1）$f(x)=3x^2+1,\quad -\pi \le x < \pi$

**计算 $a_0$**：
$$
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (3x^2+1) \, dx
= \frac{1}{\pi} \left[ x^3 + x \right]_{-\pi}^{\pi}
= \frac{1}{\pi} \left( (\pi^3+\pi) - (-\pi^3-\pi) \right)
= \frac{1}{\pi} (2\pi^3 + 2\pi) = 2\pi^2 + 2.
$$

**计算 $a_n$**（$n\ge 1$）：
由于 $3x^2+1$ 是偶函数，$\cos(nx)$ 是偶函数，乘积为偶函数，故
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (3x^2+1) \cos(nx) \, dx.
$$
分部积分：
先计算 $\int x^2 \cos(nx) dx$：
令 $u=x^2, dv=\cos(nx)dx$，得 $du=2x dx, v=\frac{\sin(nx)}{n}$，
$$
\int x^2 \cos(nx) dx = \frac{x^2 \sin(nx)}{n} - \frac{2}{n} \int x \sin(nx) dx.
$$
再对 $\int x \sin(nx) dx$ 分部积分：
令 $u=x, dv=\sin(nx)dx$，得 $du=dx, v=-\frac{\cos(nx)}{n}$，
$$
\int x \sin(nx) dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{1}{n} \int \cos(nx) dx
= -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}.
$$
因此
$$
\int x^2 \cos(nx) dx = \frac{x^2 \sin(nx)}{n} - \frac{2}{n} \left( -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} \right)
= \frac{x^2 \sin(nx)}{n} + \frac{2x \cos(nx)}{n^2} - \frac{2\sin(nx)}{n^3}.
$$
另外 $\int \cos(nx) dx = \frac{\sin(nx)}{n}$。

于是
$$
\int_{0}^{\pi} (3x^2+1) \cos(nx) dx
= 3\left[ \frac{x^2 \sin(nx)}{n} + \frac{2x \cos(nx)}{n^2} - \frac{2\sin(nx)}{n^3} \right]_{0}^{\pi}
+ \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi}.
$$
在 $x=\pi$ 处，$\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$；在 $x=0$ 处各项均为0，因此
$$
= 3\left( 0 + \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} - 0 \right) + 0 = \frac{6\pi (-1)^n}{n^2}.
$$
所以
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{6\pi (-1)^n}{n^2} = \frac{12 (-1)^n}{n^2}.
$$

**计算 $b_n$**：
由于 $3x^2+1$ 是偶函数，$\sin(nx)$ 是奇函数，乘积为奇函数，在对称区间积分为0，故
$$
b_n = 0.
$$

傅里叶级数：
$$
f(x) = \pi^2 + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{12 (-1)^n}{n^2} \cos(nx).
$$

---

（2）$f(x)=e^{2x},\quad -\pi \le x < \pi$

**计算 $a_0$**：
$$
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} dx
= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_{-\pi}^{\pi}
= \frac{1}{2\pi} (e^{2\pi} - e^{-2\pi}) = \frac{\sinh(2\pi)}{\pi}.
$$

**计算 $a_n$**：
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} \cos(nx) dx.
$$
利用公式 $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}(a\cos(bx)+b\sin(bx))}{a^2+b^2}$，这里 $a=2, b=n$：
$$
\int e^{2x} \cos(nx) dx = \frac{e^{2x}(2\cos(nx)+n\sin(nx))}{4+n^2}.
$$
代入上下限：
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{4+n^2} \left[ e^{2x}(2\cos(nx)+n\sin(nx)) \right]_{-\pi}^{\pi}.
$$
在 $x=\pi$：$\cos(n\pi)=(-1)^n,\sin(n\pi)=0$，得 $e^{2\pi} \cdot 2(-1)^n$；
在 $x=-\pi$：$\cos(-n\pi)=(-1)^n,\sin(-n\pi)=0$，得 $e^{-2\pi} \cdot 2(-1)^n$。
因此
$$
a_n = \frac{1}{\pi(4+n^2)} \cdot 2(-1)^n (e^{2\pi} - e^{-2\pi})
= \frac{4(-1)^n \sinh(2\pi)}{\pi(4+n^2)}.
$$

**计算 $b_n$**：
$$
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} \sin(nx) dx.
$$
利用公式 $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}(a\sin(bx)-b\cos(bx))}{a^2+b^2}$：
$$
\int e^{2x} \sin(nx) dx = \frac{e^{2x}(2\sin(nx)-n\cos(nx))}{4+n^2}.
$$
代入上下限：
在 $x=\pi$：$\sin(n\pi)=0,\cos(n\pi)=(-1)^n$，得 $e^{2\pi}(-n(-1)^n) = -n(-1)^n e^{2\pi}$；
在 $x=-\pi$：$\sin(-n\pi)=0,\cos(-n\pi)=(-1)^n$，得 $e^{-2\pi}(-n(-1)^n) = -n(-1)^n e^{-2\pi}$。
相减：
$$
\left[ \cdots \right]_{-\pi}^{\pi} = -n(-1)^n (e^{2\pi} - e^{-2\pi}) = -n(-1)^n \cdot 2\sinh(2\pi).
$$
因此
$$
b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{-2n(-1)^n \sinh(2\pi)}{4+n^2}
= -\frac{2n(-1)^n \sinh(2\pi)}{\pi(4+n^2)}.
$$

傅里叶级数：
$$
f(x) = \frac{\sinh(2\pi)}{2\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n \sinh(2\pi)}{\pi(4+n^2)} \left( 2\cos(nx) - n\sin(nx) \right).
$$

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（3）$f(x)=2\sin\frac{x}{3},\quad -\pi \le x < \pi$

函数为奇函数，故 $a_0=0