人邮高数 第1章 第1-7-7题
📝 题目
7．讨论函数
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+1}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{cases}
$$
在 $x=0$ 处的连续性．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
要讨论函数在 $x=0$ 处的连续性，需要考察极限 $\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x)}$ 是否等于 $f(0)=1$。
由于函数在 $x \neq 0$ 时的表达式为
$$
f(x) = \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} - 1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} + 1},
$$
当 $x \to 0$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x}$ 的符号不同会导致 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ 的极限不同，因此需要分别考虑左极限和右极限。
第一步：求右极限
当 $x \to 0^+$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x} \to +\infty$，因此 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \to +\infty$。
将分子分母同时除以 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$：
$$
f(x) = \frac{1 - \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}{1 + \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}}.
$$
当 $x \to 0^+$ 时，$\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}} \to 0$，所以
$$
\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.
$$
第二步：求左极限
当 $x \to 0^-$ 时，$\displaystyle \frac{1}{x} \to -\infty$，因此 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \to 0$。
直接代入极限：
$$
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1.
$$
第三步：比较极限与函数值
右极限为 $1$，左极限为 $-1$，左右极限不相等，因此 $\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x)}$ 不存在。
而 $f(0)=1$，所以函数在 $x=0$ 处不连续（且为跳跃间断点）。
结论：函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续。