人邮高数 第2章 第2-1-1题
📝 题目
1．填空选择题：
（1）设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则 $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{f(-h)-f(0)}{h}=$ $\_\_\_\_$ ；
（2）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\lt 0, \\ \ln (1+x), & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $f(0)=$ $\_\_\_\_$ ，$f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ；
（3）设 $\displaystyle y=\frac{1-x}{1+x}$ ，则 $y^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ；
（4）设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}}}-\frac{1}{x \sqrt{x}}$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ；
（5）设函数 $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ，$[f(0)]^{\prime}=$ $\_\_\_\_$ ；
（6）过曲线 $y=x^{2}$ 上点 $(2,4)$ 处的切线斜率为 $\_\_\_\_$ ；
（7）函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2, & 0 \leqslant x\lt 1 \\ 3 x-1, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处（
A．可导
B．连续但不可导
C．不连续
D．无定义
（8）函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续是在该点处可导的
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．无关条件
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
习题2-1解答
（1）
由导数定义，$f'(0)=\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}$。
此处极限为 $\displaystyle{\lim_{h\to 0}\frac{f(-h)-f(0)}{h}}$，令 $t=-h$，则 $h\to0$ 时 $t\to0$，且
$$
\lim_{h\to0}\frac{f(-h)-f(0)}{h}=\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{-t}=-\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t}=-f'(0).
$$
故答案为 $-f'(0)$。
（2）
$f(0)=\ln(1+0)=0$。
求 $f'(0)$：左导数
$$
f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0^-}\frac{x-0}{x}=1.
$$
右导数
$$
f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(1+x)-0}{x}=1.
$$
左右导数相等，故 $f'(0)=1$。
答案为 $0$，$1$。
（3）
$y=\dfrac{1-x}{1+x}$，求导：
$$
y'=\frac{-(1+x)-(1-x)\cdot1}{(1+x)^2}=\frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2}=\frac{-2}{(1+x)^2}.
$$
答案为 $\displaystyle -\frac{2}{(1+x)^2}$。
（4）
$f(x)=2x^{-2/3}-x^{-3/2}$，求导：
$$
f'(x)=2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)x^{-5/3}-\left(-\frac{3}{2}\right)x^{-5/2}=-\frac{4}{3}x^{-5/3}+\frac{3}{2}x^{-5/2}.
$$
代入 $x=1$：
$$
f'(1)=-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{-8+9}{6}=\frac{1}{6}.
$$
答案为 $\dfrac{1}{6}$。
（5）
$f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$，求 $f'(0)$。
用乘积求导或直接定义：
$$
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)-0}{x}=\lim_{x\to0}(x-1)(x-2)(x-3)=(-1)(-2)(-3)=-6.
$$
$[f(0)]'$ 表示常数 $f(0)=0$ 的导数，为 $0$。
答案为 $-6$，$0$。
（6）
$y=x^2$，$y'=2x$，在 $(2,4)$ 处斜率为 $2\cdot2=4$。
答案为 $4$。
（7）
检查 $x=1$ 处连续性：
左极限 $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=1+2=3$，右极限 $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=3\cdot1-1=2$，左右极限不相等，故不连续。
选 C。
（8）
可导必连续，连续不一定可导，故连续是可导的必要条件。
选 B。