人邮高数 第2章 第2-2-9题

[AI解答]

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我们依次解答各题，给出完整步骤。

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9. 设 $ y = \ln(1+2x-3x^2) $，求 $ y^{(4)} $。

解：
首先化简：
$$
y = \ln(1+2x-3x^2) = \ln\big( -(3x+1)(x-1) \big)
$$
但更直接求导：
$$
y' = \frac{2 - 6x}{1+2x-3x^2}
$$
分母因式分解：
$$
1+2x-3x^2 = -(3x+1)(x-1)
$$
用部分分式：
$$
\frac{2-6x}{1+2x-3x^2} = \frac{A}{3x+1} + \frac{B}{x-1}
$$
解出：
$$
2-6x = A(x-1) + B(3x+1)
$$
令 $ x=1 $ 得 $ -4 = 4B \Rightarrow B=-1 $
令 $ x=-\frac13 $ 得 $ 2+2 = A(-\frac13-1) \Rightarrow 4 = -\frac43 A \Rightarrow A=-3 $

所以：
$$
y' = -\frac{3}{3x+1} - \frac{1}{x-1}
$$
于是：
$$
y^{(n)} = -3 \cdot \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(3x+1)^n} \cdot 3^{n} - \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x-1)^n}
$$
因为对 $ \frac{1}{ax+b} $ 的 n 阶导数为 $ \frac{(-1)^n n! a^n}{(ax+b)^{n+1}} $，注意符号调整。

对 $ n=4 $：
$$
y^{(4)} = -3 \cdot \frac{(-1)^{3} 3! \cdot 3^4}{(3x+1)^4} - \frac{(-1)^3 3!}{(x-1)^4}
$$
计算：$ (-1)^3 = -1 $，所以：
$$
y^{(4)} = -3 \cdot \frac{-6 \cdot 81}{(3x+1)^4} - \frac{-6}{(x-1)^4}
= \frac{1458}{(3x+1)^4} + \frac{6}{(x-1)^4}
$$

$$
\boxed{y^{(4)} = \frac{1458}{(3x+1)^4} + \frac{6}{(x-1)^4}}
$$

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(14) $ y = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} $

解：
先化简：
$$
\frac{1+\sin x}{1-\sin x} = \frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x} = \frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}
$$
所以：
$$
y = \frac{1+\sin x}{|\cos x|}
$$
在区间内可适当取正，通常假定 $ \cos x >0 $：
$$
y = \frac{1+\sin x}{\cos x} = \sec x + \tan x
$$
因此：
$$
y' = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x (\tan x + \sec x)
$$
也可写作：
$$
y' = \frac{1+\sin x}{\cos^2 x}
$$

$$
\boxed{y' = \sec x (\sec x + \tan x)}
$$

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(16) $ y = \sin \sqrt{x^2+1} $

解：
$$
y' = \cos\sqrt{x^2+1} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
$$

$$
\boxed{y' = \frac{x \cos\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}}
$$

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(18) $ y = \ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right) $

解：
这是反双曲余弦：$ y = \operatorname{arcosh} x $，其导数为：
$$
y' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}
$$

$$
\boxed{y' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}
$$

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(2) $ y = \sin\left(3x^2+1\right)^3 $

解：
令 $ u = (3x^2+1)^3 $，则：
$$
y' = \cos u \cdot 3(3x^2+1)^2 \cdot 6x
= 18x (3x^2+1)^2 \cos\left((3x^2+1)^3\right)
$$

$$
\boxed{y' = 18x (3x^2+1)^2 \cos\left((3x^2+1)^3\right)}
$$

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(4) $ y = \sin^n x \cos nx $

解：
用乘积法则：
$$
y' = n\sin^{n-1}x \cos x \cos nx + \sin^n x ( -n \sin nx)
$$
$$
= n\sin^{n-1}x \big( \cos x \cos nx - \sin x \sin nx \big)
$$
$$
= n\sin^{n-1}x \cos(x+nx) = n\sin^{n-1}x \cos((n+1)x)
$$

$$
\boxed{y' = n \sin^{n-1}x \cos((n+1)x)}
$$

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(6) $ y = \arcsin(1-2x) $

解：
$$
y' = \frac{1}{\sqrt{1-(1-2x)^2}} \cdot (-2)
= \frac{-2}{\sqrt{1-(1-4x+4x^2)}} = \frac{-2}{\sqrt{4x-4x^2}}
= \frac{-2}{2\sqrt{x-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}
$$

$$
\boxed{y' = -\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}}
$$

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(8) $ y = \frac{1-\ln x}{1+\ln x} $

解：
$$
y' = \frac{-\frac1x (1+\ln x) - (1-\ln x)\cdot \frac1x}{(1+\ln x)^2}
= \frac{-\frac1x(1+\ln x + 1 - \ln x)}{(1+\ln x)^2}
= \frac{-\frac{2}{x}}{(1+\ln x)^2}
$$

$$
\boxed{y' = -\frac{2}{x(1+\ln x)^2}}
$$

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(10) $ y = \left(\arcsin\frac{x}{2}\right)^2 $

解：
$$
y' = 2\arcsin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(x/2)^2}} \cdot \frac12
= \frac{\arcsin\frac{x}{2}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}
$$

$$
\boxed{y' = \frac{\arcsin\frac{x}{2}}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}}
$$

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(12) $ y = e^{-x}(x^2-2x) $

解：
$$
y' = -e^{-x}(x^2-2x) + e^{-x}(2x-2) = e^{-x}(-x^2+2x+2x-2) = e^{-x}(-x^2+4x-2)
$$

$$
\boxed{y' = e^{-x}(-x^2+4x-2)}
$$

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(14) $ y = \arctan\frac{x+1}{x-1} $

解：
注意：
$$
\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1+u^2}
$$
这里 $ u = \frac{x+1}{x-1} $，则：
$$
u' = \frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}
$$
且：
$$
1+u^2 = 1+ \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2+(x+1)^2}{(x-1)^2} = \frac{2x^2+2}{(x-1)^2}
$$
所以：
$$
y' = \frac{-2/(x-1)^2}{(2x^2+2)/(x-1)^2} = \frac{-2}{2(x^2+1)} = -\frac{1}{x^2+1}
$$

$$
\boxed{y' = -\frac{1}{x^2+1}}
$$

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(16) $ y