人邮高数 第2章 第2-2-*20题

[AI解答]

[AI解答]

解
设飞机在高度 $h=2\,\text{km}$ 处水平飞行，水平速度为 $v=200\,\text{km/h}$。
以目标正下方的地面点为原点 $O$，飞机水平方向位移为 $x(t)$，则飞机到目标的连线与铅垂线之间的夹角记为 $\theta(t)$，如图（略）。

由几何关系：
$$
\tan\theta(t) = \frac{x(t)}{h}.
$$

对时间 $t$ 求导，注意 $h$ 为常数：
$$
\sec^2\theta \cdot \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{h}\cdot\frac{dx}{dt}.
$$

已知水平速度 $\displaystyle\frac{dx}{dt}=v$，且当飞机位于目标正上方时，$x=0$，此时 $\theta=0$，$\sec^2 0 = 1$。代入上式得：
$$
1 \cdot \left.\frac{d\theta}{dt}\right|_{x=0} = \frac{v}{h}.
$$

因此所求角速度大小为：
$$
\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{v}{h} = \frac{200}{2} = 100\ \text{rad/h}.
$$

若化为常用单位（弧度每秒）：
$$
\omega = \frac{100}{3600} = \frac{1}{36}\ \text{rad/s} \approx 0.0278\ \text{rad/s}.
$$

答案：飞机至目标正上方时摄影机转动的角速度为 $\displaystyle \frac{v}{h}=100\ \text{rad/h}$（或 $\frac{1}{36}\ \text{rad/s}$）。