人邮高数 第2章 第2-3-1题
📝 题目
1．填空选择题：
（1）$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导是 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的 $\_\_\_\_$ ，$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续是 $f(x)$在点 $x_{0}$ 处可导的 $\_\_\_\_$ ，$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导是 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微的 $\_\_\_\_$ ；
A．必要条件
B．充分条件
C．充要条件
D．无关条件
（2）设函数 $f(x)$ 可导，则当 $x$ 在 $x=2$ 处有微小增量 $\Delta x$ 时，函数的增量约为 $\_\_\_\_$ ；
A．$f^{\prime}(2)$
B． $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)$
C．$f(2+\Delta x)$
D．$f^{\prime}(2) \Delta x$
（3）设 $f(x)$ 可微，则 $\mathrm{d}\left[\mathrm{e}^{f(x)}\right]=$ $\_\_\_\_$ ；
（4）设函数 $f(x)$ 可导，$y=f\left(-x^{2}\right)$ ，则 $\mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ；
（5）$\displaystyle \frac{\mathrm{d}(\ln x)}{\mathrm{d}(\sqrt{x})}=$ $\_\_\_\_$ ；
（6）设 $f(x)$ 为可微的偶函数，且对任意的 $\displaystyle x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right), f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $f^{\prime}\left(-x_{0}\right)$ ＝ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
[AI解答]
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习题2-3 解答
（1）
- 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则必在 $x_0$ 处连续，因此可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件。
- 对于一元函数，可导与可微等价，因此可导是可微的充要条件。
答案依次为：B（充分条件）、A（必要条件）、C（充要条件）。
（2）
由微分的定义，当 $\Delta x$ 很小时，函数的增量 $\Delta y \approx f'(x) \Delta x$，在 $x=2$ 处即为 $f'(2) \Delta x$。
答案：D。
（3）
由微分法则：
$$
\mathrm{d}\left[\mathrm{e}^{f(x)}\right] = \mathrm{e}^{f(x)} f'(x) \, \mathrm{d}x
$$
也可写作 $\mathrm{e}^{f(x)} \,\mathrm{d}f(x)$。
答案：$\mathrm{e}^{f(x)} f'(x) \,\mathrm{d}x$ 或 $\mathrm{e}^{f(x)} \,\mathrm{d}f(x)$。
（4）
设 $y = f(-x^2)$，则
$$
\mathrm{d}y = f'(-x^2) \cdot \mathrm{d}(-x^2) = f'(-x^2) \cdot (-2x) \,\mathrm{d}x = -2x f'(-x^2) \,\mathrm{d}x
$$
答案：$-2x f'(-x^2) \,\mathrm{d}x$。
（5）
计算：
$$
\frac{\mathrm{d}(\ln x)}{\mathrm{d}(\sqrt{x})} = \frac{\frac{1}{x} \mathrm{d}x}{\frac{1}{2\sqrt{x}} \mathrm{d}x} = \frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}
$$
答案：$\displaystyle{\frac{2}{\sqrt{x}}}$。
（6）
因为 $f(x)$ 是可微偶函数，所以 $f(-x) = f(x)$，两边求导得：
$$
-f'(-x) = f'(x) \quad\Rightarrow\quad f'(-x) = -f'(x)
$$
代入 $x = x_0$，已知 $f'(x_0) = \frac{1}{2}$，则
$$
f'(-x_0) = -\frac{1}{2}
$$
答案：$-\displaystyle{\frac{1}{2}}$。
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难度评级：★☆☆☆☆