人邮高数 第2章 第2-3-12题
📝 题目
12．设扇形的圆心角 $\alpha=60^{\circ}$ ，半径 $R=100 \mathrm{~cm}$ ．如果 $R$ 不变，$\alpha$ 减少 $30^{\prime}$ ，问：扇形面积大约改变多少？又如果 $\alpha$ 不变，$R$ 增加 1 cm ，问：扇形面积大约改变多少？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知扇形面积公式为
$$
S = \frac{1}{2} R^2 \alpha
$$
其中 $\alpha$ 需用弧度制。
$\displaystyle \alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ 弧度，$\displaystyle 30' = 0.5^\circ = \frac{\pi}{360}$ 弧度。
(1) 当 $R$ 不变，$\alpha$ 减少 $30'$ 时，面积改变量近似为
$$
\Delta S \approx \frac{\partial S}{\partial \alpha} \cdot \Delta\alpha
= \frac{1}{2} R^2 \cdot \Delta\alpha
$$
代入 $R=100$ cm，$\displaystyle \Delta\alpha = -\frac{\pi}{360}$，得
$$
\Delta S \approx \frac{1}{2} \times 100^2 \times \left(-\frac{\pi}{360}\right)
= \frac{10000}{2} \times \left(-\frac{\pi}{360}\right)
= 5000 \times \left(-\frac{\pi}{360}\right)
= -\frac{5000\pi}{360}
= -\frac{125\pi}{9} \ \text{cm}^2
$$
因此面积大约减少 $\displaystyle{\frac{125\pi}{9}\ \text{cm}^2}$。
(2) 当 $\alpha$ 不变，$R$ 增加 1 cm 时，面积改变量近似为
$$
\Delta S \approx \frac{\partial S}{\partial R} \cdot \Delta R
= R\alpha \cdot \Delta R
$$
代入 $R=100$，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{3}$，$\Delta R=1$，得
$$
\Delta S \approx 100 \times \frac{\pi}{3} \times 1
= \frac{100\pi}{3} \ \text{cm}^2
$$
因此面积大约增加 $\displaystyle{\frac{100\pi}{3}\ \text{cm}^2}$。
难度：★☆☆☆☆