习题10-1

1．设有一平面薄板（不计其厚度）占有 $x O y$ 面上的闭区域 $D$ ，薄板上分布有面密度为 $\mu=\mu(x, y)$的电荷，且 $\mu(x, y)$ 在 $D$ 上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷 $Q$ ．

2．设 $I_{1}=\displaystyle{\iint}_{D_{1}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D_{1}=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,-2 \leqslant y \leqslant 2\}$ ；又 $I_{2}=\displaystyle{\iint}_{D_{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D_{2}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ．试利用二重积分的几何意义说明 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 之间的关系．

3．利用二重积分定义证明： （1） $\displaystyle{\iint}_{D} \mathrm{~d} \sigma=\sigma$（其中 $\sigma$ 为 $D$ 的面积）； （2） $\displaystyle{\iint}_{D} k f(x, y) \mathrm{d} \sigma=k \displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$（其中 $k$ 为常数）； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\displaystyle{\iint}_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\displaystyle{\iint}_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=D_{1} \cup D_{2}, D_{1}, D_{2}$ 为两个无公共内点的闭区域。

4．试确定积分区域 $D$ ，使二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(1-2 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 达到最大值．

5．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1） $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中积分区域 $D$ 是由 $x$ 轴、 $y$ 轴与直线 $x+y=1$ 所围成； （2） $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中积分区域 $D$ 是由圆周 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=2$ 所围成； （3） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}[\ln (x+y)]^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是三角形闭区域，三顶点分别为 $(1,0),(1,1),(2,0)$ ； （4） $\displaystyle{\iint}_{D} \ln (x+y) \mathrm{d} \sigma$ 与 $\displaystyle{\iint}_{D}[\ln (x+y)]^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 3 \leqslant x \leqslant 5,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．

6．计算 $\displaystyle{\iint}_{D}(2+y \cos x+x y \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ．

7．利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）$I=\displaystyle{\iint}_{D} x y(x+y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ； （2）$I=\displaystyle{\iint}_{D} \sin ^{2} x \sin ^{2} y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \pi, 0 \leqslant y \leqslant \pi\}$ ； （3）$I=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y+1) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ； （4）$I=\displaystyle{\iint}_{D}\left(x^{2}+4 y^{2}+9\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．