习题11-4

1．设有一分布着质量的曲面 $\Sigma$ ，在点 $(x, y, z)$ 处它的面密度为 $\mu(x, y, z)$ ，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 $x$ 轴的转动惯量．

2．按对面积的曲面积分的定义证明公式 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\displaystyle{\iint}_{\Sigma_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} S+\displaystyle{\iint}_{\Sigma_{2}} f(x, y, z) \mathrm{d} S $$ 其中 $\Sigma$ 是由 $\Sigma_{1}$ 和 $\Sigma_{2}$ 组成的．

3．当 $\Sigma$ 是 $x O y$ 面内的一个闭区域时，曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 与二重积分有什么关系？

4．计算曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为抛物面 $z=2-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在 $x O y$ 面上方的部分，$f(x, y, z)$分别如下： （1）$f(x, y, z)=1$ ； （2）$f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}$ ； （3）$f(x, y, z)=3 z$ ．

5．计算 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 是 （1）雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 及平面 $z=1$ 所围成的区域的整个边界曲面； （2）雉面 $z^{2}=3\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 被平面 $z=0$ 和 $z=3$ 所截得的部分．

6．计算下列对面积的曲面积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(z+2 x+\frac{4}{3} y\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ 在第 I 卦限中的部分； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left(2 x y-2 x^{2}-x+z\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为平面 $2 x+2 y+z=6$ 在第 I 卦限中的部分； （3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 上 $z \geqslant h(0\lt h\lt a)$ 的部分； （4） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}(x y+y z+z x) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $x^{2}+y^{2}=2 a x$ 所截得的有限部分．

7．求抛物面壳 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的质量，此壳的面密度为 $\mu=z$ ．

8．求面密度为 $\mu_{0}$ 的均匀半球壳 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0)$ 对于 $z$ 轴的转动惯量．