习题11-5

1．按对坐标的曲面积分的定义证明公式 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma}\left[P_{1}(x, y, z) \pm P_{2}(x, y, z)\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=\displaystyle{\iint}_{\Sigma} P_{1}(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z \pm \displaystyle{\iint}_{\Sigma} P_{2}(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z $$

2．当 $\Sigma$ 为 $x O y$ 面内的一个闭区域时，曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 与二重积分有什么关系？

3．计算下列对坐标的曲面积分： （1） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} x^{2} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 的下半部分的下侧； （2） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\Sigma$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 被平面 $z=0$ 及 $z=3$ 所截得的在第 I 卦限内的部分的前侧； （3） $\displaystyle{\iint}_{\Sigma}[f(x, y, z)+x] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[2 f(x, y, z)+y] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[f(x, y, z)+z] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y, z)$ 为连续函数，$\Sigma$是平面 $x-y+z=1$ 在第 IV 卦限部分的上侧； （4）$\oiint_{\Sigma} x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\Sigma$ 是平面 $x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．

4．把对坐标的曲面积分 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 化成对面积的曲面积分，其中 （1）$\Sigma$ 是平面 $3 x+2 y+2 \sqrt{3} z=6$ 在第 I 卦限的部分的上侧； （2）$\Sigma$ 是抛物面 $z=8-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在 $x O y$ 面上方的部分的上侧．

5．计算 $$ \displaystyle{\iint}_{\Sigma}(3 z+1) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-\mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\Sigma$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}, \\ x=0\end{array} \quad(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的旋转曲面的左侧．