习题11-7

1．试对曲面 $\Sigma: z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant 1, P=y^{2}, Q=x, R=z^{2}$ 验证斯托克斯公式．

＊2．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： （1）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x+y+z=0$ ，若从 $x$ 轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向； （2）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma}(y-z) \mathrm{d} x+(z-x) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为椭圆 $x^{2}+y^{2}=a^{2}, \frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1(a\gt 0, b\gt 0)$ ，若从 $x$ 轴正向看去，这椭圆取逆时针方向； （3）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} 3 y \mathrm{~d} x-x z \mathrm{~d} y+y z^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=2 z, z=2$ ，若从 $z$ 轴正向看去，这圆周取逆时针方向； （4）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} 2 y \mathrm{~d} x+3 x \mathrm{~d} y-z^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, z=0$ ，若从 $z$ 轴正向看去，这圆周取逆时针方向．

＊3．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 的旋度： （1）$A=(2 z-3 y) i+(3 x-z) j+(y-2 x) k$ ； （2）$A=(z+\sin y) i-(z-x \cos y) j$ ； （3）$A=x^{2} \sin y i+y^{2} \sin (x z) j+x y \sin (\cos z) k$ ．

＊4．利用斯托克斯公式把曲面积分 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} \operatorname{rot} A \cdot n \mathrm{~d} S$ 化为曲线积分，并计算积分值，其中 $A, \Sigma$ 及 $n$分别如下： （1）$A=y^{2} i+x y j+x z k, \Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧，$n$ 是 $\Sigma$ 的单位法向量； （2）$A=(y-z) i+y z j-x z k, \Sigma$ 为立方体 $\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2,0 \leqslant z \leqslant 2\}$ 的表面外侧去掉 $x O y$面上的那个底面，$n$ 是 $\Sigma$ 的单位法向量． ${ }^{*}$ 5．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 沿闭曲线 $\Gamma$（从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 依逆时针方向）的环流量： （1）$A=-y i+x j+c k$（ $c$ 为常量），$\Gamma$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=1, z=0$ ； （2）$A=(x-z) i+\left(x^{3}+y z\right) j-3 x y^{2} k$ ，其中 $\Gamma$ 为圆周 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z=0$ ．

＊6．证明 $\operatorname{rot}(a+b)=\operatorname{rot} a+\operatorname{rot} b$ ．

＊7．设 $u=u(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} u)$ ．