习题12-3

1．下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： 已知 $\alpha\gt 0$ ，若幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}(x+\alpha)^{n}$ 在 $x=0$ 处发散，在 $x=-2 \alpha$ 处收敛，则幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-\alpha)^{n}$ 的收敛域为 ． （A）$[-2 \alpha, 0)$ （B）$[0,2 \alpha)$ （C）$(-2 \alpha, 0]$ （D）$(0,2 \alpha]$

2．求下列幂级数的收敛区间： （1）$x+2 x^{2}+3 x^{3}+\cdots+n x^{n}+\cdots$ ； （2） $1-x+\frac{x^{2}}{2^{2}}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n^{2}}+\cdots$ ； （3）$\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{2 \times 4}+\frac{x^{3}}{2 \times 4 \times 6}+\cdots+\frac{x^{n}}{2 \times 4 \times \cdots \times(2 n)}+\cdots$ ； （4）$\frac{x}{1 \times 3}+\frac{x^{2}}{2 \times 3^{2}}+\frac{x^{3}}{3 \times 3^{3}}+\cdots+\frac{x^{n}}{n \times 3^{n}}+\cdots$ ； （5）$\frac{2}{2} x+\frac{2^{2}}{5} x^{2}+\frac{2^{3}}{10} x^{3}+\cdots+\frac{2^{n}}{n^{2}+1} x^{n}+\cdots$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n}}$ ．

3．利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ ； （3）$x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(n+2) x^{n+3}$ ．