同济高数 第7章 第7-4-2题

[AI解答]

[AI解答]

我们依次求解各一阶线性微分方程的初值问题。
一阶线性微分方程的标准形式为
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x) y = Q(x)
$$
通解公式为
$$
y = e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C \right)
$$

---

（1）
方程：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y \tan x = \sec x,\quad y(0)=0
$$
这里 $P(x) = -\tan x$，$Q(x)=\sec x$。
先求积分因子：
$$
\int P(x)\,\mathrm{d}x = \int -\tan x\,\mathrm{d}x = \ln|\cos x|
$$
所以
$$
e^{\int P\,\mathrm{d}x} = \cos x
$$
通解：
$$
y = \frac{1}{\cos x}\left( \int \sec x \cdot \cos x\,\mathrm{d}x + C \right)
= \frac{1}{\cos x}\left( \int 1\,\mathrm{d}x + C \right)
= \frac{x + C}{\cos x}
$$
代入初值 $y(0)=0$：
$$
0 = \frac{0+C}{1} \Rightarrow C=0
$$
特解：
$$
\boxed{y = \frac{x}{\cos x}}
$$

---

（2）
方程：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{y}{x} = \frac{\sin x}{x},\quad y(\pi)=1
$$
$P(x)=\frac{1}{x}$，$Q(x)=\frac{\sin x}{x}$。
积分因子：
$$
\int P\,\mathrm{d}x = \ln|x| \Rightarrow e^{\int P\,\mathrm{d}x}=x
$$
通解：
$$
y = \frac{1}{x}\left( \int \frac{\sin x}{x} \cdot x\,\mathrm{d}x + C \right)
= \frac{1}{x}\left( \int \sin x\,\mathrm{d}x + C \right)
= \frac{-\cos x + C}{x}
$$
代入 $y(\pi)=1$：
$$
1 = \frac{-\cos\pi + C}{\pi} = \frac{-(-1)+C}{\pi} = \frac{1+C}{\pi}
\Rightarrow 1+C = \pi \Rightarrow C = \pi-1
$$
特解：
$$
\boxed{y = \frac{-\cos x + \pi - 1}{x}}
$$

---

（3）
方程：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\cot x = 5e^{\cos x},\quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4
$$
$P(x)=\cot x$，$Q(x)=5e^{\cos x}$。
积分因子：
$$
\int \cot x\,\mathrm{d}x = \ln|\sin x| \Rightarrow e^{\int P\,\mathrm{d}x} = \sin x
$$
通解：
$$
y = \frac{1}{\sin x}\left( \int 5e^{\cos x}\sin x\,\mathrm{d}x + C \right)
$$
计算积分：令 $u=\cos x$，$\mathrm{d}u = -\sin x\,\mathrm{d}x$，则
$$
\int 5e^{\cos x}\sin x\,\mathrm{d}x = \int 5e^{u}(-\mathrm{d}u) = -5e^{u} = -5e^{\cos x}
$$
所以
$$
y = \frac{-5e^{\cos x} + C}{\sin x}
$$
代入 $x=\frac{\pi}{2}$，$\sin\frac{\pi}{2}=1$，$\cos\frac{\pi}{2}=0$：
$$
-4 = \frac{-5\cdot 1 + C}{1} \Rightarrow -4 = -5 + C \Rightarrow C=1
$$
特解：
$$
\boxed{y = \frac{1 - 5e^{\cos x}}{\sin x}}
$$

---

（4）
方程：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 3y = 8,\quad y(0)=2
$$
$P(x)=3$，$Q(x)=8$。
积分因子：
$$
e^{\int 3\,\mathrm{d}x} = e^{3x}
$$
通解：
$$
y = e^{-3x}\left( \int 8 e^{3x}\,\mathrm{d}x + C \right)
= e^{-3x}\left( \frac{8}{3}e^{3x} + C \right)
= \frac{8}{3} + Ce^{-3x}
$$
代入 $y(0)=2$：
$$
2 = \frac{8}{3} + C \Rightarrow C = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}
$$
特解：
$$
\boxed{y = \frac{8}{3} - \frac{2}{3}e^{-3x}}
$$

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（5）
方程：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{2-3x^{2}}{x^{3}} y = 1,\quad y(1)=0
$$
$P(x)=\frac{2-3x^{2}}{x^{3}} = \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x}$，$Q(x)=1$。
积分因子：
$$
\int P\,\mathrm{d}x = \int \left( \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x} \right)\mathrm{d}x
= -\frac{1}{x^{2}} - 3\ln|x|
$$
所以
$$
e^{\int P\,\mathrm{d}x} = e^{-1/x^{2}} \cdot x^{-3}
$$
通解：
$$
y = x^{3}e^{1/x^{2}} \left( \int 1 \cdot x^{-3}e^{-1/x^{2}}\,\mathrm{d}x + C \right)
$$
计算积分：令 $u = -\frac{1}{x^{2}}$，$\mathrm{d}u = \frac{2}{x^{3}}\mathrm{d}x$，则
$$
\int x^{-3}e^{-1/x^{2}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{2}e^{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}e^{-1/x^{2}}
$$
所以
$$
y = x^{3}e^{1/x^{2}}\left( \frac{1}{2}e^{-1/x^{2}} + C \right)
= \frac{x^{3}}{2} + C x^{3}e^{1/x^{2}}
$$
代入 $y(1)=0$：
$$
0 = \frac{1}{2} + C e^{1} \Rightarrow C = -\frac{1}{2e}
$$
特解：
$$
\boxed{y = \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{3}}{2e}e^{1/x^{2}} = \frac{x^{3}}{2}\left(1 - e^{1/x^{2} - 1}\right)}
$$

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（6）
方程：
$$
x(1+x^{2})y' + y = 1+x^{2},\quad y(1)=0
$$
先化为标准形式：
$$
y' + \frac{1}{x(1+x^{2})}y = \frac{1+x^{2}}{x(1+x^{2})} = \frac{1}{x}
$$
所以 $P(x)=\frac{1}{x(1+x^{2})}$，$Q(x)=\frac{1}{x}$。
积分因子：
$$
\int P\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{x(1+x^{2})}\,\mathrm{d}x
$$
用部分分式：
$$
\frac{1}{x(1+x^{2})} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^{2}}
$$
积分得
$$
\int P\,\mathrm{d}x = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) = \ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^{2}}}
$$
所以
$$
e^{\int P\,\mathrm{d}x} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}
$$
通解：
$$
y = \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}\left( \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,\mathrm{d}x + C \right)
= \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}\left( \int \frac{1