同济高数 第7章 第7-4-6题

[AI解答]

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我们考虑微分方程
$$
y f(xy) \, \mathrm{d}x + x g(xy) \, \mathrm{d}y = 0.
$$
令
$$
v = xy,
$$
则
$$
\mathrm{d}v = y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y.
$$
原方程可改写为
$$
y f(v) \, \mathrm{d}x + x g(v) \, \mathrm{d}y = 0.
$$
我们希望将方程用 $v$ 和其中一个变量（比如 $x$ 或 $y$）表示。由 $v = xy$ 可得
$$
y = \frac{v}{x}, \quad \mathrm{d}y = \frac{x \, \mathrm{d}v - v \, \mathrm{d}x}{x^2}.
$$
代入原方程：

第一项：
$$
y f(v) \, \mathrm{d}x = \frac{v}{x} f(v) \, \mathrm{d}x.
$$

第二项：
$$
x g(v) \, \mathrm{d}y = x g(v) \cdot \frac{x \, \mathrm{d}v - v \, \mathrm{d}x}{x^2}
= g(v) \, \mathrm{d}v - \frac{v}{x} g(v) \, \mathrm{d}x.
$$

将两项相加：
$$
\frac{v}{x} f(v) \, \mathrm{d}x + g(v) \, \mathrm{d}v - \frac{v}{x} g(v) \, \mathrm{d}x = 0.
$$

合并含 $\mathrm{d}x$ 的项：
$$
\frac{v}{x} \bigl[ f(v) - g(v) \bigr] \mathrm{d}x + g(v) \, \mathrm{d}v = 0.
$$

这是一个关于 $x$ 和 $v$ 的方程。若 $f(v) \neq g(v)$，可分离变量：
$$
\frac{1}{x} \, \mathrm{d}x + \frac{g(v)}{v [f(v) - g(v)]} \, \mathrm{d}v = 0.
$$

两边积分得：
$$
\int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x + \int \frac{g(v)}{v [f(v) - g(v)]} \, \mathrm{d}v = C,
$$
即
$$
\ln |x| + \int \frac{g(v)}{v [f(v) - g(v)]} \, \mathrm{d}v = C.
$$

将 $v = xy$ 代回，得到隐式通解：
$$
\ln |x| + \int \frac{g(xy)}{xy [f(xy) - g(xy)]} \, \mathrm{d}(xy) = C.
$$

若 $f(v) = g(v)$，则原方程化为
$$
y f(v) \, \mathrm{d}x + x f(v) \, \mathrm{d}y = f(v)(y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y) = f(v) \, \mathrm{d}v = 0,
$$
此时直接得 $v = xy = \text{常数}$ 为解。

因此，原方程确实可通过代换 $v = xy$ 化为可分离变量方程。

难度：★★☆☆☆