同济高数 第7章 第7-4-7题

[AI解答]

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习题7-4 第7题

(1) $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(x+y)^{2}$

令 $u = x + y$，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = 1 + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$，即 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} - 1$。

代入原方程：
$$
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} - 1 = u^2
$$
$$
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = u^2 + 1
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d} u}{u^2+1} = \mathrm{d} x
$$
两边积分：
$$
\arctan u = x + C
$$
回代 $u = x + y$：
$$
\arctan(x+y) = x + C
$$
通解为：
$$
\boxed{y = \tan(x+C) - x}
$$

---

(2) $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{x-y}+1$

令 $u = x - y$，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = 1 - \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$，即 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 1 - \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$。

代入：
$$
1 - \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{u} + 1
$$
化简：
$$
- \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{u}
$$
$$
\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = -\frac{1}{u}
$$
分离变量：
$$
u \, \mathrm{d} u = - \mathrm{d} x
$$
积分：
$$
\frac{u^2}{2} = -x + C
$$
回代 $u = x - y$：
$$
\frac{(x-y)^2}{2} = -x + C
$$
通解为：
$$
\boxed{(x-y)^2 = -2x + C}
$$

---

(3) $x y^{\prime}+y=y(\ln x+\ln y)$

改写为：
$$
x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + y = y \ln(xy)
$$
令 $u = xy$，则 $\displaystyle y = \frac{u}{x}$，$\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} - u}{x^2}$。

代入：
$$
x \cdot \frac{x u' - u}{x^2} + \frac{u}{x} = \frac{u}{x} \ln u
$$
化简左边：
$$
\frac{x u' - u}{x} + \frac{u}{x} = \frac{x u'}{x} = u'
$$
所以：
$$
u' = \frac{u}{x} \ln u
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d} u}{u \ln u} = \frac{\mathrm{d} x}{x}
$$
积分：
$$
\ln|\ln u| = \ln|x| + C
$$
即：
$$
\ln u = C x
$$
回代 $u = xy$：
$$
\boxed{\ln(xy) = C x}
$$

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(4) $y^{\prime}=y^{2}+2(\sin x-1) y+\sin ^{2} x-2 \sin x-\cos x+1$

观察右边可配方：
$$
y^2 + 2(\sin x - 1)y + (\sin x - 1)^2 = (y + \sin x - 1)^2
$$
而 $(\sin x - 1)^2 = \sin^2 x - 2\sin x + 1$，与后面比较：
原式右边为：
$$
(y + \sin x - 1)^2 - \cos x
$$
所以方程化为：
$$
y' = (y + \sin x - 1)^2 - \cos x
$$
令 $u = y + \sin x - 1$，则 $u' = y' + \cos x$，即 $y' = u' - \cos x$。

代入：
$$
u' - \cos x = u^2 - \cos x
$$
化简得：
$$
u' = u^2
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d} u}{u^2} = \mathrm{d} x
$$
积分：
$$
-\frac{1}{u} = x + C
$$
回代 $u = y + \sin x - 1$：
$$
-\frac{1}{y + \sin x - 1} = x + C
$$
通解为：
$$
\boxed{y = -\frac{1}{x+C} - \sin x + 1}
$$

---

(5) $y(x y+1) \mathrm{d} x+x\left(1+x y+x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$

令 $u = xy$，则 $\displaystyle y = \frac{u}{x}$，$\displaystyle \mathrm{d} y = \frac{x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x}{x^2}$。

代入原方程：
$$
\frac{u}{x}(u+1) \mathrm{d} x + x\left(1+u+u^2\right) \cdot \frac{x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x}{x^2} = 0
$$
化简第二项：
$$
x\left(1+u+u^2\right) \cdot \frac{x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x}{x^2} = \frac{1+u+u^2}{x} (x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x)
$$
所以原式为：
$$
\frac{u(u+1)}{x} \mathrm{d} x + \frac{1+u+u^2}{x} (x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x) = 0
$$
乘以 $x$：
$$
u(u+1) \mathrm{d} x + (1+u+u^2)(x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x) = 0
$$
整理 $\mathrm{d} x$ 和 $\mathrm{d} u$ 项：
$\mathrm{d} x$ 系数：$u(u+1) - u(1+u+u^2) = u(u+1) - u - u^2 - u^3 = u^2+u - u - u^2 - u^3 = -u^3$
$\mathrm{d} u$ 系数：$x(1+u+u^2)$

所以：
$$
- u^3 \mathrm{d} x + x(1+u+u^2) \mathrm{d} u = 0
$$
分离变量：
$$
\frac{\mathrm{d} x}{x} = \frac{1+u+u^2}{u^3} \mathrm{d} u
$$
右边分解：
$$
\frac{1}{u^3} + \frac{1}{u^2} + \frac{1}{u}
$$
积分：
$$
\ln|x| = -\frac{1}{2u^2} - \frac{1}{u} + \ln|u| + C
$$
回代 $u = xy$：
$$
\boxed{\ln|xy| - \frac{1}{2x^2 y^2} - \frac{1}{xy} = \ln|x| + C}
$$

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第8题 伯努利方程

(1) $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=y^{2}(\cos x-\sin x)$

这是伯努利方程，$n=2$。令 $z = y^{1-2} = y^{-1}$，则 $z' = -y^{-2} y'$。

原方程除以 $y^2$：
$$
y^{-2} y' + y^{-1} = \cos x - \sin x
$$
即：
$$
- z' + z = \cos x - \sin x
$$
或：
$$
z' - z = \sin x - \cos x
$$
一阶线性，解为：
$$
z = e^{\int \mathrm{d} x} \left[ \int e^{-\int \mathrm{d} x} (\sin x - \cos x) \mathrm{d} x + C \right] = e^x \left[ \int e^{-x}(\sin x - \cos x) \mathrm{d