同济高数 第7章 第7-5-2题
📝 题目
2．设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，满足：
$$
f^{\prime 2}(x)=f(x)+\displaystyle{\int}_{0}^{x}\left[f^{\prime}(t)\right]^{3} \mathrm{~d} t
$$
且 $f^{\prime}(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知函数 $ f(x) $ 具有二阶连续导数，且满足：
$$
f^{\prime 2}(x) = f(x) + \displaystyle\int_{0}^{x} \left[ f'(t) \right]^3 \, \mathrm{d}t
$$
以及初始条件 $ f'(0) = 1 $。
第一步：对等式两边求导
由于等式右边含有积分上限为 $ x $ 的积分，我们可以对两边关于 $ x $ 求导，利用牛顿-莱布尼茨公式：
左边导数为：
$$
\frac{d}{dx} \left[ f'(x)^2 \right] = 2 f'(x) f''(x)
$$
右边导数为：
$$
\frac{d}{dx} \left[ f(x) + \displaystyle\int_{0}^{x} [f'(t)]^3 \, dt \right] = f'(x) + [f'(x)]^3
$$
因此得到：
$$
2 f'(x) f''(x) = f'(x) + [f'(x)]^3
$$
第二步：化简微分方程
若 $ f'(x) \neq 0 $，两边可同时除以 $ f'(x) $：
$$
2 f''(x) = 1 + [f'(x)]^2
$$
即：
$$
f''(x) = \frac{1 + [f'(x)]^2}{2}
$$
**第三步：令 $ p = f'(x) $，则 $ f''(x) = p' = \frac{dp}{dx} $**
方程变为：
$$
\frac{dp}{dx} = \frac{1 + p^2}{2}
$$
分离变量：
$$
\frac{2}{1 + p^2} \, dp = dx
$$
两边积分：
$$
\int \frac{2}{1 + p^2} \, dp = \int dx
$$
得到：
$$
2 \arctan p = x + C
$$
第四步：利用初始条件确定常数
由 $ f'(0) = 1 $，即 $ p(0) = 1 $：
$$
2 \arctan 1 = 0 + C \quad\Rightarrow\quad 2 \cdot \frac{\pi}{4} = C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{\pi}{2}
$$
因此：
$$
2 \arctan p = x + \frac{\pi}{2}
$$
即：
$$
\arctan p = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}
$$
所以：
$$
p = f'(x) = \tan\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)
$$
**第五步：积分求 $ f(x) $**
$$
f(x) = \int \tan\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) dx
$$
令 $ u = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} $，则 $ du = \frac{1}{2} dx $，$ dx = 2 du $：
$$
f(x) = \int \tan u \cdot 2 \, du = 2 \int \frac{\sin u}{\cos u} du = -2 \ln |\cos u| + C_1
$$
即：
$$
f(x) = -2 \ln \left| \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| + C_1
$$
**第六步：确定常数 $ C_1 $**
由原方程令 $ x = 0 $：
$$
f'(0)^2 = f(0) + \displaystyle\int_{0}^{0} [f'(t)]^3 dt
$$
即：
$$
1^2 = f(0) + 0 \quad\Rightarrow\quad f(0) = 1
$$
代入：
$$
f(0) = -2 \ln \left| \cos\left( 0 + \frac{\pi}{4} \right) \right| + C_1 = -2 \ln\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + C_1
$$
而：
$$
-2 \ln\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2 \left( \ln \sqrt{2} - \ln 2 \right) = -2\left( \frac{1}{2}\ln 2 - \ln 2 \right) = -2\left( -\frac{1}{2}\ln 2 \right) = \ln 2
$$
所以：
$$
1 = \ln 2 + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 1 - \ln 2
$$
最终结果：
$$
\boxed{f(x) = 1 - \ln 2 - 2 \ln\left[ \cos\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right]}
$$
难度：★★★☆☆