同济高数 第7章 第7-6-1题

[AI解答]

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判断函数组线性无关，通常使用定义：若存在不全为零的常数 $c_1, c_2$，使得
$$
c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) = 0
$$
对定义域内所有 $x$ 恒成立，则线性相关；否则线性无关。
也可利用Wronskian行列式不为零则线性无关。

下面逐题判断：

（1）$x, x^{2}$
假设 $c_1 x + c_2 x^2 = 0$ 对所有 $x$ 成立。取 $x=1$ 得 $c_1 + c_2 = 0$；取 $x=-1$ 得 $-c_1 + c_2 = 0$，解得 $c_1 = c_2 = 0$，故线性无关。
难度：★☆☆☆☆

（2）$x, 2x$
显然 $2x = 2 \cdot x$，即存在 $c_1 = -2, c_2 = 1$ 使 $-2\cdot x + 1\cdot 2x = 0$，线性相关。
难度：★☆☆☆☆

（3）$\mathrm{e}^{2x}, 3\mathrm{e}^{2x}$
$3\mathrm{e}^{2x} = 3 \cdot \mathrm{e}^{2x}$，线性相关。
难度：★☆☆☆☆

（4）$\mathrm{e}^{-x}, \mathrm{e}^{x}$
假设 $c_1 \mathrm{e}^{-x} + c_2 \mathrm{e}^{x} = 0$。取 $x=0$ 得 $c_1 + c_2 = 0$；取 $x=1$ 得 $c_1 \mathrm{e}^{-1} + c_2 \mathrm{e} = 0$，解得 $c_1 = c_2 = 0$，线性无关。
难度：★☆☆☆☆

（5）$\cos 2x, \sin 2x$
假设 $c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x = 0$。取 $x=0$ 得 $c_1 = 0$；取 $x=\frac{\pi}{4}$ 得 $c_2 = 0$，线性无关。
难度：★☆☆☆☆

（6）$\mathrm{e}^{x^{2}}, x \mathrm{e}^{x^{2}}$
假设 $c_1 \mathrm{e}^{x^{2}} + c_2 x \mathrm{e}^{x^{2}} = 0$，即 $\mathrm{e}^{x^{2}}(c_1 + c_2 x) = 0$，由于 $\mathrm{e}^{x^{2}} > 0$，故 $c_1 + c_2 x = 0$ 对所有 $x$ 成立，只能 $c_1 = c_2 = 0$，线性无关。
难度：★☆☆☆☆

（7）$\sin 2x, \cos x \sin x$
注意 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$，而 $\cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin 2x$，故两者成比例，线性相关。
难度：★★☆☆☆

（8）$\mathrm{e}^{x} \cos 2x, \mathrm{e}^{x} \sin 2x$
假设 $c_1 \mathrm{e}^{x} \cos 2x + c_2 \mathrm{e}^{x} \sin 2x = 0$，即 $\mathrm{e}^{x}(c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x) = 0$，$\mathrm{e}^{x} > 0$，故 $c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x = 0$ 对所有 $x$ 成立，取 $x=0$ 得 $c_1=0$，取 $x=\frac{\pi}{4}$ 得 $c_2=0$，线性无关。
难度：★☆☆☆☆

（9）$\ln x, x \ln x$
假设 $c_1 \ln x + c_2 x \ln x = \ln x (c_1 + c_2 x) = 0$ 对 $x>0$ 成立，由于 $\ln x$ 不恒为零，故 $c_1 + c_2 x = 0$ 对所有 $x>0$ 成立，只能 $c_1 = c_2 = 0$，线性无关。
难度：★☆☆☆☆

（10）$\mathrm{e}^{ax}, \mathrm{e}^{bx} \quad (a \neq b)$
假设 $c_1 \mathrm{e}^{ax} + c_2 \mathrm{e}^{bx} = 0$。除以 $\mathrm{e}^{bx}$ 得 $c_1 \mathrm{e}^{(a-b)x} + c_2 = 0$。若 $c_1 \neq 0$，左边随 $x$ 变化，不可能恒为常数，故 $c_1=0$，进而 $c_2=0$，线性无关。
难度：★★☆☆☆

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总结：
线性无关的有：(1)、(4)、(5)、(6)、(8)、(9)、(10)
线性相关的有：(2)、(3)、(7)

难度评级：★★☆☆☆