同济高数 第7章 第7-6-3题
📝 题目
3．验证 $y_{1}=\mathrm{e}^{x^{2}}$ 及 $y_{2}=x \mathrm{e}^{x^{2}}$ 都是方程 $y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+\left(4 x^{2}-2\right) y=0$ 的解，并写出该方程的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**第一步：验证 $y_1 = e^{x^2}$ 是解**
计算一阶导数：
$$
y_1' = 2x e^{x^2}
$$
二阶导数：
$$
y_1'' = 2 e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = (2 + 4x^2) e^{x^2}
$$
代入方程：
$$
y_1'' - 4x y_1' + (4x^2 - 2) y_1
= (2+4x^2)e^{x^2} - 4x(2x e^{x^2}) + (4x^2 - 2)e^{x^2}
$$
合并同类项：
$$
= (2+4x^2 - 8x^2 + 4x^2 - 2) e^{x^2} = 0
$$
故 $y_1$ 是解。
**第二步：验证 $y_2 = x e^{x^2}$ 是解**
一阶导数：
$$
y_2' = e^{x^2} + 2x^2 e^{x^2} = (1+2x^2)e^{x^2}
$$
二阶导数：
$$
y_2'' = 4x e^{x^2} + (1+2x^2)\cdot 2x e^{x^2} = (4x + 2x + 4x^3)e^{x^2} = (6x + 4x^3)e^{x^2}
$$
代入方程：
$$
y_2'' - 4x y_2' + (4x^2 - 2) y_2
= (6x+4x^3)e^{x^2} - 4x(1+2x^2)e^{x^2} + (4x^2 - 2)x e^{x^2}
$$
提取 $e^{x^2}$ 并合并：
$$
= \left[6x + 4x^3 - 4x - 8x^3 + 4x^3 - 2x\right] e^{x^2}
$$
计算：
$$
(6x - 4x - 2x) + (4x^3 - 8x^3 + 4x^3) = 0
$$
故 $y_2$ 也是解。
第三步：判断线性无关性并写出通解
计算Wronskian行列式：
$$
W(y_1, y_2) =
\begin{vmatrix}
e^{x^2} & x e^{x^2} \\
2x e^{x^2} & (1+2x^2)e^{x^2}
\end{vmatrix}
= e^{2x^2} \left[ (1+2x^2) - 2x^2 \right] = e^{2x^2} \neq 0
$$
因此 $y_1$ 与 $y_2$ 线性无关，构成二阶线性齐次方程的基本解组。
通解为：
$$
\boxed{y = C_1 e^{x^2} + C_2 x e^{x^2}}
$$
难度：★★☆☆☆