同济高数 第7章 第7-6-*5题
📝 题目
＊5．已知 $y_{1}(x)=\mathrm{e}^{x}$ 是齐次线性方程
$$
(2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0
$$
的一个解，求此方程的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知 $y_1(x)=e^x$ 是齐次线性微分方程
$$
(2x-1)y''-(2x+1)y'+2y=0
$$
的一个解，要求通解。
由于是二阶线性齐次方程，且已知一个解，可用降阶法（刘维尔公式）求另一个线性无关的解。
第一步：将方程化为标准形式
方程两边除以 $2x-1$（注意 $x\neq \frac12$），得
$$
y'' - \frac{2x+1}{2x-1}y' + \frac{2}{2x-1}y = 0
$$
这里
$$
P(x) = -\frac{2x+1}{2x-1}
$$
第二步：利用刘维尔公式求第二个解
设 $y_2(x) = y_1(x) \cdot u(x)$，其中
$$
u(x) = \int \frac{1}{y_1^2} e^{-\int P(x)\,dx} \, dx
$$
先计算
$$
\int P(x)\,dx = \int -\frac{2x+1}{2x-1} dx
$$
做多项式除法：
$$
\frac{2x+1}{2x-1} = 1 + \frac{2}{2x-1}
$$
因此
$$
\int P(x)\,dx = -\int \left(1 + \frac{2}{2x-1}\right) dx = -x - \ln|2x-1| + C
$$
所以
$$
e^{-\int P(x)\,dx} = e^{x + \ln|2x-1|} = (2x-1)e^x
$$
又因为 $y_1(x)=e^x$，所以
$$
\frac{1}{y_1^2} = e^{-2x}
$$
于是
$$
u(x) = \int e^{-2x} \cdot (2x-1)e^x \, dx = \int (2x-1)e^{-x} dx
$$
第三步：计算积分
用分部积分：
令 $u=2x-1$，$dv=e^{-x}dx$，则 $du=2dx$，$v=-e^{-x}$
$$
\int (2x-1)e^{-x}dx = -(2x-1)e^{-x} + \int 2 e^{-x} dx
$$
$$
= -(2x-1)e^{-x} - 2e^{-x} = -(2x+1)e^{-x}
$$
因此
$$
u(x) = -(2x+1)e^{-x}
$$
取一个特解时忽略常数，则
$$
y_2(x) = y_1(x) \cdot u(x) = e^x \cdot \left[-(2x+1)e^{-x}\right] = -(2x+1)
$$
常数倍可忽略，取
$$
y_2(x) = 2x+1
$$
第四步：写出通解
两个线性无关解为 $e^x$ 与 $2x+1$，通解为
$$
\boxed{y = C_1 e^{x} + C_2 (2x+1)}
$$
难度：★★☆☆☆