同济高数 第7章 第7-8-1题
📝 题目
1．求下列各微分方程的通解：
（1） $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \mathrm{e}^{x}$ ；
（2）$y^{\prime \prime}+a^{2} y=\mathrm{e}^{x}$ ；
（3） $2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=5 x^{2}-2 x-1$ ；
（4）$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$ ；
（5）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ；
（6）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=(x+1) \mathrm{e}^{3 x}$ ；
（7）$y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+4 y=3-2 x$ ；
（8）$y^{\prime \prime}+4 y=x \cos x$ ；
（9）$y^{\prime \prime}+y=\mathrm{e}^{x}+\cos x$ ；
（10）$y^{\prime \prime}-y=\sin ^{2} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各题详细求解过程。
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（1）$2 y'' + y' - y = 2 e^{x}$
解：
齐次方程：$2 r^2 + r - 1 = 0$，解得 $r = \frac{1}{2},\ -1$，故齐次通解
$$
y_h = C_1 e^{\frac{x}{2}} + C_2 e^{-x}.
$$
设特解形式 $y_p = A e^{x}$，代入得
$$
2A e^{x} + A e^{x} - A e^{x} = 2A e^{x} = 2 e^{x} \Rightarrow A = 1.
$$
所以通解
$$
\boxed{y = C_1 e^{\frac{x}{2}} + C_2 e^{-x} + e^{x}}.
$$
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（2）$y'' + a^2 y = e^{x}$
解：
齐次特征方程 $r^2 + a^2 = 0$，$r = \pm i a$，故
$$
y_h = C_1 \cos(ax) + C_2 \sin(ax).
$$
设特解 $y_p = A e^{x}$，代入得
$$
A e^{x} + a^2 A e^{x} = (1 + a^2) A e^{x} = e^{x} \Rightarrow A = \frac{1}{1 + a^2}.
$$
通解
$$
\boxed{y = C_1 \cos(ax) + C_2 \sin(ax) + \frac{e^{x}}{1 + a^2}}.
$$
---
（3）$2 y'' + 5 y' = 5x^2 - 2x - 1$
解：
齐次：$2 r^2 + 5 r = r(2r+5)=0$，得 $r=0,\ -\frac{5}{2}$，故
$$
y_h = C_1 + C_2 e^{-\frac{5}{2}x}.
$$
右端为二次多项式，因 $r=0$ 是根，设
$$
y_p = x(Ax^2 + Bx + C) = A x^3 + B x^2 + C x.
$$
求导：
$y_p' = 3A x^2 + 2B x + C$，
$y_p'' = 6A x + 2B$。
代入方程：
$$
2(6A x + 2B) + 5(3A x^2 + 2B x + C) = 15A x^2 + (12A + 10B)x + (4B + 5C).
$$
与右边 $5x^2 - 2x - 1$ 比较系数：
$$
15A = 5 \Rightarrow A = \frac{1}{3},\quad 12A + 10B = -2 \Rightarrow 4 + 10B = -2 \Rightarrow B = -\frac{3}{5},
$$
$$
4B + 5C = -1 \Rightarrow -\frac{12}{5} + 5C = -1 \Rightarrow 5C = \frac{7}{5} \Rightarrow C = \frac{7}{25}.
$$
所以
$$
\boxed{y = C_1 + C_2 e^{-\frac{5}{2}x} + \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + \frac{7}{25}x}.
$$
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（4）$y'' + 3y' + 2y = 3x e^{-x}$
解：
齐次：$r^2 + 3r + 2 = 0$，得 $r = -1,\ -2$，故
$$
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.
$$
右端为 $3x e^{-x}$，$\lambda = -1$ 是单根，设
$$
y_p = x(Ax + B)e^{-x} = (A x^2 + B x) e^{-x}.
$$
求导代入（略去详细计算），比较系数得 $A = \frac{3}{2},\ B = -3$。
故
$$
\boxed{y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + \left(\frac{3}{2}x^2 - 3x\right)e^{-x}}.
$$
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（5）$y'' - 2y' + 5y = e^{x} \sin 2x$
解：
齐次：$r^2 - 2r + 5 = 0$，得 $r = 1 \pm 2i$，故
$$
y_h = e^{x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x).
$$
右端 $e^{x} \sin 2x$ 对应 $\lambda = 1 \pm 2i$ 恰为特征根，设
$$
y_p = x e^{x}(A \cos 2x + B \sin 2x).
$$
代入方程解得 $A = -\frac{1}{4},\ B = 0$，故
$$
\boxed{y = e^{x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) - \frac{x}{4} e^{x} \cos 2x}.
$$
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（6）$y'' - 6y' + 9y = (x+1)e^{3x}$
解：
齐次：$(r-3)^2=0$，得二重根 $r=3$，故
$$
y_h = (C_1 + C_2 x) e^{3x}.
$$
右端对应 $\lambda=3$ 是二重根，设
$$
y_p = x^2 (Ax + B) e^{3x} = (A x^3 + B x^2) e^{3x}.
$$
代入解得 $A = \frac{1}{6},\ B = \frac{1}{2}$，故
$$
\boxed{y = (C_1 + C_2 x) e^{3x} + \left(\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right) e^{3x}}.
$$
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（7）$y'' + 5y' + 4y = 3 - 2x$
解：
齐次：$r^2 + 5r + 4 = 0$，得 $r = -1,\ -4$，故
$$
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-4x}.
$$
设特解 $y_p = Ax + B$，代入得
$$
0 + 5A + 4(Ax + B) = 4A x + (5A + 4B) = -2x + 3.
$$
比较系数：
$4A = -2 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$，
$5A + 4B = 3 \Rightarrow -\frac{5}{2} + 4B = 3 \Rightarrow 4B = \frac{11}{2} \Rightarrow B = \frac{11}{8}$。
故
$$
\boxed{y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-4x} - \frac{1}{2}x + \frac{11}{8}}.
$$
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（8）$y'' + 4y = x \cos x$
解：
齐次：$r^2 + 4 = 0$，得 $r = \pm 2i$，故
$$
y_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x.
$$
右端为 $x \cos x$，$\lambda = \pm i$ 不是特征根，设
$$
y_p = (Ax + B) \cos x + (Cx + D) \sin x.
$$
代入方程，比较系数得
$A = \frac{1}{3},\ B = 0,\ C = 0,\ D = -\frac{1}{9}$，故
$$
\boxed{y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{x}{3} \cos x - \frac{1}{9} \sin x}.
$$
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（9）$y'' + y = e^{x} + \cos x$
解：
齐次：$r^2 + 1 = 0$，得 $r = \pm i$，故
$$
y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x.