同济高数 第7章 第7-8-3题
📝 题目
3．已知二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+m y^{\prime}+n y=0$ 的通解为 $y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$ ，求 $m, n$ 的值，并求非齐次方程 $y^{\prime \prime}+m y^{\prime}+n y=x$ 满足初值条件 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ 的特解．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知二阶常系数齐次线性微分方程
$$
y'' + m y' + n y = 0
$$
的通解为
$$
y = (C_1 + C_2 x) e^{x}.
$$
第一步：由通解形式确定特征根
通解形式表明特征方程有重根 $ r = 1 $，因此特征方程为
$$
(r - 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r^2 - 2r + 1 = 0.
$$
对应微分方程为
$$
y'' - 2y' + y = 0.
$$
比较系数得
$$
m = -2, \quad n = 1.
$$
第二步：求非齐次方程的特解
非齐次方程为
$$
y'' - 2y' + y = x.
$$
设特解形式为
$$
y^* = Ax + B,
$$
代入方程：
$$
y^{*\prime} = A, \quad y^{*\prime\prime} = 0,
$$
代入得
$$
0 - 2A + (Ax + B) = x.
$$
比较系数：
$$
A = 1, \quad -2A + B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 2.
$$
所以特解为
$$
y^* = x + 2.
$$
第三步：非齐次方程的通解
通解为
$$
y = (C_1 + C_2 x) e^{x} + x + 2.
$$
第四步：利用初值条件确定常数
已知 $ y(0) = 2 $，代入得
$$
(C_1 + 0) e^{0} + 0 + 2 = 2 \quad \Rightarrow \quad C_1 + 2 = 2 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 0.
$$
求导：
$$
y' = C_2 e^{x} + (C_1 + C_2 x) e^{x} + 1.
$$
代入 $ y'(0) = 0 $ 且 $ C_1 = 0 $：
$$
C_2 e^{0} + (0 + 0) e^{0} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad C_2 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad C_2 = -1.
$$
第五步：写出特解
满足初值条件的特解为
$$
y = -x e^{x} + x + 2.
$$
难度：★★☆☆☆