同济高数 第10章 第10-2-10题
📝 题目
10．求由曲面 $z=x^{2}+2 y^{2}$ 及 $z=6-2 x^{2}-y^{2}$ 所围成的立体的体积．
💡 答案解析
[AI解答]
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要求由两个曲面所围立体的体积，首先需要确定两个曲面的交线，从而得出积分区域。
曲面方程：
$$
z = x^2 + 2y^2
$$
$$
z = 6 - 2x^2 - y^2
$$
两者相交时，有
$$
x^2 + 2y^2 = 6 - 2x^2 - y^2
$$
移项得：
$$
x^2 + 2y^2 + 2x^2 + y^2 = 6
$$
$$
3x^2 + 3y^2 = 6
$$
$$
x^2 + y^2 = 2
$$
所以交线在 $xy$ 平面上的投影是半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。
在圆内，曲面 $z = 6 - 2x^2 - y^2$ 在上方，曲面 $z = x^2 + 2y^2$ 在下方，因此体积为：
$$
V = \iint\limits_{D} \left[ (6 - 2x^2 - y^2) - (x^2 + 2y^2) \right] \, \mathrm{d}A
$$
其中 $D: x^2 + y^2 \le 2$。
被积函数化简：
$$
6 - 2x^2 - y^2 - x^2 - 2y^2 = 6 - 3x^2 - 3y^2
$$
因此
$$
V = \iint\limits_{D} (6 - 3x^2 - 3y^2) \, \mathrm{d}A
$$
采用极坐标变换：
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta
$$
积分区域为 $0 \le r \le \sqrt{2},\ 0 \le \theta \le 2\pi$，于是
$$
V = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} (6 - 3r^2)\, r \, \mathrm{d}r
$$
先对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{\sqrt{2}} (6r - 3r^3) \, \mathrm{d}r
= \left[ 3r^2 - \frac{3}{4}r^4 \right]_{0}^{\sqrt{2}}
$$
代入 $r = \sqrt{2}$：
$$
3(2) - \frac{3}{4}(4) = 6 - 3 = 3
$$
再对 $\theta$ 积分：
$$
V = \int_{0}^{2\pi} 3 \, \mathrm{d}\theta = 6\pi
$$
因此，所求立体的体积为
$$
\boxed{6\pi}
$$
难度：★★☆☆☆
（主要考察空间曲面围成立体的体积计算，步骤清晰，计算量不大，但需掌握二重积分与极坐标变换。）