同济高数 第10章 第10-2-17题

[AI解答]

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问题分析
所求立体位于第 I 卦限，由以下曲面围成：
- 平面 $y=0$（即 $xz$ 平面）
- 平面 $y = kx$（$k>0$，过 $z$ 轴的斜面）
- 平面 $z=0$（即 $xy$ 平面）
- 上半球面 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，$z \ge 0$

在第 I 卦限内，$x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$。
因此立体是上半球体被两个过 $z$ 轴的垂直平面切割出来的一个楔形部分。

解法：采用柱面坐标（或球面坐标）
由于区域由过 $z$ 轴的平面界定，采用柱面坐标更方便：
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z
$$
其中 $r \ge 0$，$\theta$ 为极角，$z \ge 0$。

第一步：确定积分区域
- 平面 $y=0$ 对应 $\theta = 0$。
- 平面 $y = kx$ 即 $r\sin\theta = k r\cos\theta$，当 $r>0$ 时得 $\tan\theta = k$，因此 $\theta = \arctan k$。
- 在第 I 卦限，$\theta$ 从 $0$ 到 $\arctan k$。
- 上半球面方程：$z = \sqrt{R^2 - r^2}$，且 $r$ 从 $0$ 到 $R$。
- 平面 $z=0$ 为底面。

第二步：体积积分公式
体积元素在柱坐标下为 $dV = r\, dr\, d\theta\, dz$。
先对 $z$ 积分，从 $z=0$ 到 $z=\sqrt{R^2 - r^2}$，再对 $r$ 和 $\theta$ 积分：

$$
V = \iiint\limits_{\Omega} dV
= \int_{\theta=0}^{\arctan k} \int_{r=0}^{R} \int_{z=0}^{\sqrt{R^2 - r^2}} r\, dz\, dr\, d\theta
$$

第三步：逐次积分
先对 $z$ 积分：
$$
\int_{z=0}^{\sqrt{R^2 - r^2}} r\, dz = r \cdot \sqrt{R^2 - r^2}
$$

再对 $r$ 积分：
$$
\int_{r=0}^{R} r\sqrt{R^2 - r^2}\, dr
$$
令 $u = R^2 - r^2$，则 $du = -2r\, dr$，当 $r=0$ 时 $u=R^2$，$r=R$ 时 $u=0$：
$$
\int_{0}^{R} r\sqrt{R^2 - r^2}\, dr
= \int_{u=R^2}^{0} \sqrt{u} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du
= \frac{1}{2} \int_{0}^{R^2} u^{1/2} du
= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_{0}^{R^2}
= \frac{1}{3} R^3
$$

最后对 $\theta$ 积分：
$$
\int_{\theta=0}^{\arctan k} \frac{1}{3} R^3 \, d\theta
= \frac{R^3}{3} \cdot \arctan k
$$

第四步：结果
因此所求体积为：
$$
\boxed{V = \frac{R^3}{3} \arctan k}
$$

难度评级：★★☆☆☆
（中等偏易，主要考察柱坐标下简单区域的积分，计算量小，但需正确确定角度范围）