同济高数 第10章 第10-2-18题

[AI解答]

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解题思路
曲顶柱体的体积可以用二重积分表示为
$$
V = \iint\limits_{D} (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}\sigma,
$$
其中 $D$ 是底面区域，即 $xOy$ 平面上由圆周
$$
x^2 + y^2 = a x
$$
所围成的闭区域。
首先将圆的方程化为标准形式，确定积分区域，再选择适当的坐标系（极坐标）计算积分。

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**第一步：确定区域 $D$**
将方程
$$
x^2 + y^2 = a x
$$
配方：
$$
x^2 - a x + y^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2.
$$
因此这是一个圆心在 $(\frac{a}{2}, 0)$、半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆。

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第二步：转化为极坐标
令
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
$$
则圆的方程变为
$$
r^2 = a r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad r = a\cos\theta \quad (r \ge 0).
$$
由于圆完全位于 $x \ge 0$ 的半平面，$\theta$ 的范围是
$$
-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}.
$$
被积函数 $x^2 + y^2 = r^2$，面积元 $\mathrm{d}\sigma = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$。

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第三步：写出二重积分并计算
$$
\begin{aligned}
V &= \iint\limits_{D} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}\sigma
= \int_{\theta=-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{a\cos\theta} r^2 \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \$$4pt]
&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_{0}^{a\cos\theta} r^3\,\mathrm{d}r \right) \mathrm{d}\theta \$$4pt]
&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{a\cos\theta} \mathrm{d}\theta
= \frac{1}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a^4 \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta \$$4pt]
&= \frac{a^4}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta.
\end{aligned}
$$

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**第四步：计算 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta$**
利用对称性，函数为偶函数，所以
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta
= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta.
$$
使用倍角公式降幂：
$$
\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2},\quad
\cos^4\theta = \left(\frac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2
= \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos2\theta + \cos^2 2\theta\right).
$$
而
$$
\cos^2 2\theta = \frac{1+\cos4\theta}{2},
$$
所以
$$
\cos^4\theta = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos2\theta + \frac{1+\cos4\theta}{2}\right)
= \frac{1}{4}\left(\frac{3}{2} + 2\cos2\theta + \frac{1}{2}\cos4\theta\right)
= \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}\cos4\theta.
$$
于是
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}\cos4\theta \right) \mathrm{d}\theta.
$$
计算得
$$
\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin2\theta\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\sin4\theta\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}
= \frac{3\pi}{16} + 0 + 0 = \frac{3\pi}{16}.
$$
因此
$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta \,\mathrm{d}\theta = 2 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}.
$$

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第五步：得到体积
$$
V = \frac{a^4}{4} \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi a^4}{32}.
$$

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最终答案
$$
\boxed{\dfrac{3\pi a^{4}}{32}}
$$

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难度评级：★★★☆☆
（需要掌握极坐标变换、对称性化简、三角降幂积分，属于中等难度计算题。）