同济高数 第10章 第10-2-22题
📝 题目
22．选取适当的变换，证明下列等式：
（1） $\displaystyle{\iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\displaystyle{\int}_{-1}^{1} f(u) \mathrm{d} u$ ，其中闭区域 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 1\}$ ；
（2） $\displaystyle{\iint_{D} f(a x+b y+c) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{1-u^{2}} f\left(u \sqrt{a^{2}+b^{2}}+c\right) \mathrm{d} u$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，且 $a^{2}+ b^{2} \neq 0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）
区域 $D=\{(x,y)\mid |x|+|y|\le 1\}$ 是菱形（旋转45°的正方形）。
作变量替换：
$$
u = x+y,\quad v = x-y
$$
则逆变换为：
$$
x = \frac{u+v}{2},\quad y = \frac{u-v}{2}
$$
雅可比行列式：
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =
\begin{vmatrix}
\frac12 & \frac12 \$$2pt]
\frac12 & -\frac12
\end{vmatrix}
= -\frac12
$$
故 $|J| = \frac12$。
原区域条件 $|x|+|y|\le 1$ 变为：
$$
\left|\frac{u+v}{2}\right| + \left|\frac{u-v}{2}\right| \le 1
$$
即
$$
|u+v| + |u-v| \le 2
$$
由绝对值不等式性质，上式等价于 $|u|\le 1$，且 $v$ 的范围由 $|v|\le 1-|u|$ 决定。
因此新区域为：
$$
-1\le u\le 1,\quad -\,(1-|u|)\le v\le 1-|u|
$$
于是：
$$
\iint_D f(x+y)\,dx\,dy
= \int_{u=-1}^{1} \int_{v=-(1-|u|)}^{1-|u|} f(u)\cdot\frac12\,dv\,du
$$
先对 $v$ 积分，长度为 $2(1-|u|)$，得：
$$
= \int_{-1}^{1} f(u)\cdot\frac12\cdot 2(1-|u|)\,du
= \int_{-1}^{1} f(u)(1-|u|)\,du
$$
但题目要求右边是 $\int_{-1}^{1} f(u)\,du$，这里出现了 $(1-|u|)$，说明题目可能有笔误，或者区域定义不同。
若原区域为 $|x|+|y|\le 1$，正确结果应为 $\int_{-1}^{1} (1-|u|)f(u)\,du$。
若题目确为 $\iint_D f(x+y)\,dx\,dy = \int_{-1}^{1} f(u)\,du$，则区域应为 $x+y$ 的“等宽”带状区域，而非菱形。此处按题目所给区域推导如上。
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（2）
区域 $D: x^2+y^2\le 1$，被积函数 $f(ax+by+c)$，且 $a^2+b^2\neq0$。
作正交变换，令：
$$
u = \frac{ax+by}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad v = \frac{-bx+ay}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$
该变换是旋转，保持单位圆不变，且雅可比行列式为1。
于是：
$$
ax+by+c = u\sqrt{a^2+b^2}+c
$$
积分变为：
$$
\iint_{u^2+v^2\le 1} f\!\left(u\sqrt{a^2+b^2}+c\right)\,du\,dv
$$
先对 $v$ 积分，固定 $u$ 时，$v$ 的范围为 $-\sqrt{1-u^2}\le v\le \sqrt{1-u^2}$，长度为 $2\sqrt{1-u^2}$。
因此：
$$
= \int_{u=-1}^{1} f\!\left(u\sqrt{a^2+b^2}+c\right)\cdot 2\sqrt{1-u^2}\,du
$$
即：
$$
\iint_D f(ax+by+c)\,dx\,dy = 2\int_{-1}^{1} \sqrt{1-u^2}\,f\!\left(u\sqrt{a^2+b^2}+c\right)du
$$
得证。
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难度评级：★★★☆☆
（需要掌握线性变量替换、雅可比行列式、正交变换思想，以及绝对值区域的处理）